Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(d) A reta
está contida no plano
.
(d) A reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
e pede: encontrar todos os valores de
e
(se existirem) para que a reta
esteja contida no plano
.
Informações fornecidas:
Dessa forma um ponto da reta é
e o vetor diretor da reta é
.
O plano é dado por
onde
e
são constantes desconhecidas. O vetor normal do plano é
.
O pedido do item (d) é: determinar
e
tais que a reta
esteja contida em
.
Passo 2
Vamos lembrar intuitivamente o que significa "a reta
está contida no plano
". Isso quer dizer que todo ponto de
também pertence a
. Para garantir isso, duas condições devem ocorrer simultaneamente:
-
Um ponto da reta pertence ao plano (basta verificar um ponto): se um ponto
de satisfaz a equação do plano, então pelo menos esse ponto está no plano. -
O vetor diretor da reta é paralelo ao plano — isto é, o vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. Em linguagem de produto escalar:
.
Essas duas condições são necessárias e suficientes para que a reta inteira esteja contida no plano.
Passo 3
Escrever as duas condições em forma de equações usando os dados:
Condição de ortogonalidade (produto escalar zero):
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Chamo essa equação de (A).
Condição de que o ponto
satisfaz a equação do plano:
Simplificando:
Que se rearranja para:
Chamo essa equação de (B).
Passo 4
Agora temos um sistema linear para
e
:
Vou resolver por substituição: da (B) isolamos
:
Passo 5
Substituímos
na equação (A):
Calcule passo a passo:
Passo 6
Com
, voltamos em
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar): com
e
temos
produto escalar
produto escalar
e o ponto
satisfaz a equação do plano:
Ambas as condições são satisfeitas, logo a reta fica contida no plano.