Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 2 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(d) A reta r está contida no plano \Pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e o plano \Pi e pede: encontrar todos os valores de \alpha e \beta (se existirem) para que a reta r esteja contida no plano \Pi.
Informações fornecidas:
r:\\ (x,y,z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5),\qquad t\in\mathbb{R}.
Dessa forma um ponto da reta é P_0=(-2,1,4) e o vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(5,-3,5).
O plano é dado por
\Pi:\\\ 2x+\alpha y+\beta z=5,
onde \alpha e \beta são constantes desconhecidas. O vetor normal do plano é \mathbf{n}=(2,\alpha,\beta).
O pedido do item (d) é: determinar \alpha e \beta tais que a reta r esteja contida em \Pi.

Passo 2

Vamos lembrar intuitivamente o que significa "a reta r está contida no plano \Pi". Isso quer dizer que todo ponto de r também pertence a \Pi. Para garantir isso, duas condições devem ocorrer simultaneamente:
  1. Um ponto da reta pertence ao plano (basta verificar um ponto): se um ponto P_0 de r satisfaz a equação do plano, então pelo menos esse ponto está no plano.
  2. O vetor diretor da reta é paralelo ao plano — isto é, o vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. Em linguagem de produto escalar: \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0.
Essas duas condições são necessárias e suficientes para que a reta inteira esteja contida no plano.

Passo 3

Escrever as duas condições em forma de equações usando os dados:
Condição de ortogonalidade (produto escalar zero):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0
(2,\alpha,\beta)\cdot(5,-3,5)=0.
Calculando o produto escalar:
2\cdot 5+\alpha\cdot(-3)+\beta\cdot 5=0.
Simplificando:
10-3\alpha+5\beta=0.
Chamo essa equação de (A).
Condição de que o ponto P_0=(-2,1,4) satisfaz a equação do plano:
2(-2)+\alpha\cdot 1+\beta\cdot 4 = 5.
Simplificando:
-4+\alpha+4\beta=5.
Que se rearranja para:
\alpha+4\beta=9.
Chamo essa equação de (B).

Passo 4

Agora temos um sistema linear para \alpha e \beta:
\text{(A)}\quad -3\alpha+5\beta=-10,
\text{(B)}\quad \alpha+4\beta=9.
Vou resolver por substituição: da (B) isolamos \alpha:
\alpha=9-4\beta.

Passo 5

Substituímos \alpha=9-4\beta na equação (A):
-3(9-4\beta)+5\beta=-10.
Calcule passo a passo:
-27+12\beta+5\beta=-10,
17\beta-27=-10,
17\beta=17,
\beta=1.

Passo 6

Com \beta=1, voltamos em \alpha=9-4\beta:
\alpha=9-4\cdot 1=9-4=5.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar): com \alpha=5 e \beta=1 temos
produto escalar
(2,5,1)\cdot(5,-3,5)=2\cdot5+5\cdot(-3)+1\cdot5=10-15+5=0,
e o ponto P_0 satisfaz a equação do plano:
2(-2)+5\cdot1+1\cdot4=-4+5+4=5.
Ambas as condições são satisfeitas, logo a reta fica contida no plano.

Resposta

\alpha=5,\\ \beta=1

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