Questão 2. Seja
a região do espaço (
) limitada superiormente pela esfera de centro na origem e raio
, para
, e inferiormente pelo plano
. Seja
a superfície fechada que “engloba” (limita)
(sua fronteira), orientada para fora.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial
através da superfície
.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial
Passo 1
O enunciado descreve a regi~ao
que 'e a meia– esfera de raio
sobre o plano
, e sua superf’icie fechada
`e formada pela calota esf’erica superior mais o disco plano em
. Pedem o fluxo de
atrav’es de , orientada para fora.
Conte’udo: teorema da diverg^encia (Gauss), que relaciona o fluxo atrav’es de ao volume integral da diverg^encia de
em
.
atrav’es de
Conte’udo: teorema da diverg^encia (Gauss), que relaciona o fluxo atrav’es de
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo teorema da diverg^encia,
Agora,
`e o volume de meia– esfera de raio
. Como o volume da esfera inteira `e
o volume de
vale
Passo 4
Logo, o fluxo é