Questão 2. Seja R a região do espaço ( x, y, z ) limitada superiormente pela esfera de centro na origem e raio r=2, para z>0, e inferiormente pelo plano z=0. Seja S a superfície fechada que “engloba” (limita) R (sua fronteira), orientada para fora.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial \vec{F}=(2 x-y) \vec{i}+(x+2 y+z) \vec{j}+(2 z-y) \vec{k} através da superfície S.

Passo 1

O enunciado descreve a regi~ao R que 'e a meia– esfera de raio 2 sobre o plano z=0, e sua superf’icie fechada S `e formada pela calota esf’erica superior mais o disco plano em z=0. Pedem o fluxo de
\vec{F}=(2x-y)\,\vec{i}+(x+2y+z)\,\vec{j}+(2z-y)\,\vec{k}
atrav’es de S, orientada para fora.
Conte’udo: teorema da diverg^encia (Gauss), que relaciona o fluxo atrav’es de S ao volume integral da diverg^encia de \vec{F} em R.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\div \vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(2x-y) +\frac{\partial}{\partial y}(x+2y+z) +\frac{\partial}{\partial z}(2z-y) =2 + 2 + 2 = 6.

Passo 3

Pelo teorema da diverg^encia,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{R}\div\vec{F}\,dV =6\;\iiint_{R}dV.
Agora, \displaystyle\iiint_{R}dV `e o volume de meia– esfera de raio 2. Como o volume da esfera inteira `e
\frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32}{3}\,\pi,
o volume de R vale
\frac{1}{2}\cdot\frac{32}{3}\,\pi = \frac{16}{3}\,\pi.

Passo 4

Logo, o fluxo é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =6\cdot \frac{16}{3}\,\pi =32\,\pi.

Resposta

32\pi

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