Questão 7- Se \vec{u} \cdot \vec{v}=\sqrt{3} e \vec{u} \times \vec{v}=(1,1,2), calcule o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado diz que para dois vetores \vec{u} e \vec{v} temos \vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{3}
e \vec{u}\times\vec{v}=(1,1,2).
Queremos o ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}.
Vamos usar as fórmulas
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta
e
|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta.

Passo 2

Calcular |\vec{u}\times\vec{v}|.
|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}.

Passo 3

Escrevemos as duas relações conhecidas:
\vec{u}\cdot\vec{v} = \sqrt{3} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta,
|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{6} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta.

Passo 4

Dividindo a equação do seno pela do cosseno, eliminamos |\vec{u}|\,|\vec{v}|:
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}.

Passo 5

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\theta = \arctan\bigl(\sqrt{2}\bigr) \approx 54,74^\circ.

Resposta

\theta = \arctan(\sqrt{2})\approx 54,74^\circ

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