Questão 5: Seja dada a função
.
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar um intervalo
onde exista somente uma raiz da equação (ou seja, um único em com ). - (b) Justificar a escolha desse intervalo.
Informações relevantes do enunciado:
- A função explícita é
. - Queremos um intervalo aberto
que contenha exatamente uma solução de . - Não há outras condições adicionais dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão de
para entender melhor onde ela pode ser zero. Observe que
é uma expressão quadrática em
. Vou tentar reescrevê-la como um quadrado perfeito.
Considere a expressão
. Expandindo:
Portanto encontramos a fatoração exata:
Explicação didática rápida: dizer que
é um “quadrado” significa que
para todo
, e que
exatamente quando o fator interno
for zero.
Passo 3
Agora resolvemos a equação
. Como
, temos
Isto é uma equação quadrática simples em
. Resolvendo:
Comentário didático: podemos pensar em uma substituição
e resolver
, voltando depois para
com
. Aqui obtivemos exatamente duas soluções reais,
e
. Note também que a raiz é de multiplicidade
(um “toque” da curva no eixo
), porque o fator aparece ao quadrado.
Passo 4
Para determinar um intervalo
que contenha somente uma das raízes, basta escolher um intervalo que contenha
mas não contenha
, ou vice‑versa. Vou escolher o intervalo simples
Agora verifico que
está dentro desse intervalo. Sabemos que
e
. Como a função
é crescente para
, segue que
Logo
.
Passo 5
Tenho que checar que não existe nenhuma outra raiz em
. Mas do passo 3 sabemos exatamente todas as raízes reais de
: são somente
e
. Como
é negativo (aproximadamente
) e portanto não pertence a
, o único zero de
que está no intervalo
é
.
Explicação didática adicional: como
para todo
e só pode ser zero quando
, não há outras possibilidades de zeros além das duas já encontradas. Portanto em qualquer intervalo que contenha exatamente um desses pontos teremos exatamente uma raiz.
Passo 6
Comentário sobre multiplicidade (útil na prova): a raiz
é de multiplicidade
pois o fator
aparece ao quadrado. Isso faz com que a curva toque o eixo
em
sem trocar de sinal — por isso um argumento baseado apenas em mudança de sinal (Teorema do Valor Intermediário) não seria aplicável aqui para garantir a raiz. Por isso a fatoração e a resolução algébrica são a forma mais direta e segura de identificar e contar as raízes.
Passo 7
Conclusão final e checagem: escolhemos
. Verificamos que
e que a outra raiz
. Como não existem outras raízes, o intervalo
contém exatamente uma raiz da equação
.
Resposta
(a)
(b) Porque , logo as únicas raízes reais são
; como
e
, o intervalo
contém exatamente a única raiz
.
(b) Porque