Questão 5: Seja dada a função f(x)=x^{4}-4 x^{2}+4.
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de y=f(x)
b) Justifique a escolha do intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-4x^{2}+4 e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar um intervalo (a,b) onde exista somente uma raiz da equação y=f(x) (ou seja, um único x em (a,b) com f(x)=0).
  2. (b) Justificar a escolha desse intervalo.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função explícita é f(x)=x^{4}-4x^{2}+4.
  • Queremos um intervalo aberto (a,b) que contenha exatamente uma solução de f(x)=0.
  • Não há outras condições adicionais dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão de f(x) para entender melhor onde ela pode ser zero. Observe que x^{4}-4x^{2}+4 é uma expressão quadrática em x^{2}. Vou tentar reescrevê-la como um quadrado perfeito.
Considere a expressão (x^{2}-2)^{2}. Expandindo:
(x^{2}-2)^{2}=x^{4}-2\cdot x^{2}\cdot 2+2^{2}=x^{4}-4x^{2}+4.
Portanto encontramos a fatoração exata:
f(x)=(x^{2}-2)^{2}.
Explicação didática rápida: dizer que f é um “quadrado” significa que f(x)\ge 0 para todo x, e que f(x)=0 exatamente quando o fator interno x^{2}-2 for zero.

Passo 3

Agora resolvemos a equação f(x)=0. Como f(x)=(x^{2}-2)^{2}, temos
(x^{2}-2)^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2=0.
Isto é uma equação quadrática simples em x. Resolvendo:
x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Comentário didático: podemos pensar em uma substituição y=x^{2} e resolver y-2=0, voltando depois para x com x=\pm\sqrt{y}. Aqui obtivemos exatamente duas soluções reais, \sqrt{2} e -\sqrt{2}. Note também que a raiz é de multiplicidade 2 (um “toque” da curva no eixo x), porque o fator aparece ao quadrado.

Passo 4

Para determinar um intervalo (a,b) que contenha somente uma das raízes, basta escolher um intervalo que contenha \sqrt{2} mas não contenha -\sqrt{2}, ou vice‑versa. Vou escolher o intervalo simples
(1,2).
Agora verifico que \sqrt{2} está dentro desse intervalo. Sabemos que 1^{2}=1<2 e 2^{2}=4>2. Como a função x\mapsto x^{2} é crescente para x\ge 0, segue que
1<\sqrt{2}<2.
Logo \sqrt{2}\in(1,2).

Passo 5

Tenho que checar que não existe nenhuma outra raiz em (1,2). Mas do passo 3 sabemos exatamente todas as raízes reais de f: são somente x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}. Como -\sqrt{2} é negativo (aproximadamente -1,414) e portanto não pertence a (1,2), o único zero de f que está no intervalo (1,2) é \sqrt{2}.
Explicação didática adicional: como f(x)=(x^{2}-2)^{2}\ge 0 para todo x e só pode ser zero quando x^{2}=2, não há outras possibilidades de zeros além das duas já encontradas. Portanto em qualquer intervalo que contenha exatamente um desses pontos teremos exatamente uma raiz.

Passo 6

Comentário sobre multiplicidade (útil na prova): a raiz \sqrt{2} é de multiplicidade 2 pois o fator x^{2}-2 aparece ao quadrado. Isso faz com que a curva toque o eixo x em \sqrt{2} sem trocar de sinal — por isso um argumento baseado apenas em mudança de sinal (Teorema do Valor Intermediário) não seria aplicável aqui para garantir a raiz. Por isso a fatoração e a resolução algébrica são a forma mais direta e segura de identificar e contar as raízes.

Passo 7

Conclusão final e checagem: escolhemos (1,2). Verificamos que \sqrt{2}\in(1,2) e que a outra raiz -\sqrt{2}\notin(1,2). Como não existem outras raízes, o intervalo (1,2) contém exatamente uma raiz da equação f(x)=0.

Resposta

(a) (1,2)
(b) Porque f(x)=(x^{2}-2)^{2}, logo as únicas raízes reais são x=\pm\sqrt{2}; como 1<\sqrt{2}<2 e -\sqrt{2}\notin(1,2), o intervalo (1,2) contém exatamente a única raiz \sqrt{2}.

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