Seja dada a função
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar um intervalo
onde existe somente uma raiz da equação
. Informações relevantes que temos desde o enunciado ou imediatamente deriváveis:
- A função está definida para todo
(domínio ). - Raízes ocorrem quando
. Como , isso acontece se ou se . - Usaremos propriedades da função seno (onde ela zera e o sinal do seno em intervalos) e o sinal de
para analisar onde muda de sinal e quantas raízes aparecem em certos intervalos.
Passo 2
Vamos achar as posições das raízes vinculadas a
. A propriedade básica do seno é:
exatamente quando
, com
. Aplicando isso a
temos
Portanto, as raízes de
são todos os pontos
Observe que esses zeros estão igualmente espaçados: a distância entre zeros consecutivos é
.
Passo 3
Para garantir “somente uma raiz” dentro de um intervalo aberto
é suficiente escolher um intervalo que contenha exatamente um desses pontos
e que não atinja os zeros adjacentes. Uma escolha natural é pegar um intervalo simétrico ao redor de um zero interior, com raio menor que metade da distância até os zeros vizinhos. Vou escolher o zero
(isto é,
). Os zeros vizinhos a ele são
e
; a distância até cada vizinho é
. Metade dessa distância é
. Então proponho o intervalo
porque
fica exatamente no centro e os extremos ficam a
dele, sem atingir outros zeros.
Passo 4
Agora vamos mostrar, didaticamente, que dentro do intervalo
há exatamente uma raiz, que é
. Primeiro, analisamos o sinal de
nos subintervalos à esquerda e à direita de
.
Calcule os valores de
nos extremos:
Portanto, ao variarmos
em
temos
. Nessa faixa de ângulos, o seno é positivo (porque é o 2º quadrante do círculo trigonométrico). Já ao variarmos
em
temos
, onde o seno é negativo (3º quadrante).
Passo 5
Como
nesse intervalo é positivo (todos os pontos em
são maiores que
), o fator
não muda o sinal. Assim:
- Para
temos e , logo . Não há zeros nesse subintervalo. - Para
temos e , logo . Também não há zeros nesse subintervalo.
Passo 6
Como
é contínua (produto de funções contínuas) e muda de sinal passando por
(de positivo para negativo), existe uma raiz em
. Já mostramos que em ambos os lados de
dentro do intervalo escolhido
tem sinal estritamente positivo (à esquerda) e estritamente negativo (à direita), portanto não existem outros zeros no intervalo além de
. Concluímos que há exatamente uma raiz em
.
Passo 7
Comentário prático/geral (útil para prova): o mesmo raciocínio funciona para qualquer zero
com
: o intervalo
contém apenas a raiz
. Para
(a raiz
) deve-se ter cuidado com o sinal de
(ele muda de sinal em torno de
), mas para quaisquer
a escolha acima isola bem uma única raiz.