Seja dada a função f(x)=x \operatorname{sen}(4 x)
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de y=f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x\sin(4x) e pede para encontrar um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz da equação y=f(x). Informações relevantes que temos desde o enunciado ou imediatamente deriváveis:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio \mathbb{R}).
  • Raízes ocorrem quando f(x)=0. Como f(x)=x\sin(4x), isso acontece se x=0 ou se \sin(4x)=0.
  • Usaremos propriedades da função seno (onde ela zera e o sinal do seno em intervalos) e o sinal de x para analisar onde f muda de sinal e quantas raízes aparecem em certos intervalos.

Passo 2

Vamos achar as posições das raízes vinculadas a \sin(4x)=0. A propriedade básica do seno é: \sin t=0 exatamente quando t=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Aplicando isso a t=4x temos
4x = k\pi \quad\Rightarrow\quad x = \frac{k\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, as raízes de f são todos os pontos
x=0\quad\text{e}\quad x=\frac{k\pi}{4}\\ (k\in\mathbb{Z}).
Observe que esses zeros estão igualmente espaçados: a distância entre zeros consecutivos é \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Para garantir “somente uma raiz” dentro de um intervalo aberto (a,b) é suficiente escolher um intervalo que contenha exatamente um desses pontos x=\frac{k\pi}{4} e que não atinja os zeros adjacentes. Uma escolha natural é pegar um intervalo simétrico ao redor de um zero interior, com raio menor que metade da distância até os zeros vizinhos. Vou escolher o zero x=\frac{\pi}{4} (isto é, k=1). Os zeros vizinhos a ele são x=0 e x=\frac{\pi}{2}; a distância até cada vizinho é \frac{\pi}{4}. Metade dessa distância é \frac{\pi}{8}. Então proponho o intervalo
\left(\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right),
porque \frac{\pi}{4} fica exatamente no centro e os extremos ficam a \frac{\pi}{8} dele, sem atingir outros zeros.

Passo 4

Agora vamos mostrar, didaticamente, que dentro do intervalo \left(\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right) há exatamente uma raiz, que é x=\frac{\pi}{4}. Primeiro, analisamos o sinal de \sin(4x) nos subintervalos à esquerda e à direita de \frac{\pi}{4}.
Calcule os valores de 4x nos extremos:
4\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2},\qquad 4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi,\qquad 4\cdot\frac{3\pi}{8}=\frac{3\pi}{2}.
Portanto, ao variarmos x em \left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4}\right) temos 4x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right). Nessa faixa de ângulos, o seno é positivo (porque é o 2º quadrante do círculo trigonométrico). Já ao variarmos x em \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8}\right) temos 4x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right), onde o seno é negativo (3º quadrante).

Passo 5

Como x nesse intervalo é positivo (todos os pontos em \left(\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right) são maiores que 0), o fator x não muda o sinal. Assim:
  • Para x\in\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4}\right) temos \sin(4x)>0 e x>0, logo f(x)=x\sin(4x)>0. Não há zeros nesse subintervalo.
  • Para x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8}\right) temos \sin(4x)<0 e x>0, logo f(x)<0. Também não há zeros nesse subintervalo.

Passo 6

Como f é contínua (produto de funções contínuas) e muda de sinal passando por x=\frac{\pi}{4} (de positivo para negativo), existe uma raiz em x=\frac{\pi}{4}. Já mostramos que em ambos os lados de \frac{\pi}{4} dentro do intervalo escolhido f tem sinal estritamente positivo (à esquerda) e estritamente negativo (à direita), portanto não existem outros zeros no intervalo além de x=\frac{\pi}{4}. Concluímos que há exatamente uma raiz em \left(\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right).

Passo 7

Comentário prático/geral (útil para prova): o mesmo raciocínio funciona para qualquer zero x=\frac{k\pi}{4} com k\ne 0: o intervalo
\left(\frac{k\pi}{4}-\frac{\pi}{8},\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{8}\right)
contém apenas a raiz x=\frac{k\pi}{4}. Para k=0 (a raiz x=0) deve-se ter cuidado com o sinal de x (ele muda de sinal em torno de 0), mas para quaisquer k\neq0 a escolha acima isola bem uma única raiz.

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8}\right)

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