Questão 4: Seja dada a função f(x)=x \cos (4 x)
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de y=f(x)
b) Justifique a escolha do intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x\cos(4x) e pede:
a) Encontrar um intervalo (a,b) onde exista somente uma raiz de y=f(x).
b) Justificar a escolha do intervalo.
Informações úteis dadas pelo enunciado: a fórmula explícita de f. A resolução começará a partir do próximo passo.

Passo 2

Primeiro identifico onde estão as raízes de f para entender o espaçamento entre elas (isso me ajuda a escolher um intervalo que contenha só uma raiz). A equação f(x)=0 é equivalente a
x\cos(4x)=0,
logo as raízes ocorrem quando x=0 ou quando \cos(4x)=0. Resolver \cos(4x)=0
4x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja
x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto as raízes não nulas mais próximas de 0 são x=\pm\frac{\pi}{8}. Isso mostra que entre -\frac{\pi}{8} e \frac{\pi}{8} a única possível raiz é x=0. A partir daqui vou escolher um intervalo mais estreito centrado em 0 e provar que nele existe exatamente uma raiz.

Passo 3

Escolho o intervalo
\left(-\frac{\pi}{16},\,\frac{\pi}{16}\right).
Motivação informal: esse intervalo está estritamente contido em \left(-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8}\right), logo não contém as raízes \pm\frac{\pi}{8}. Resta então provar que dentro dele há exatamente uma raiz (e mostrar qual é).

Passo 4

Vou mostrar que em \left[-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right] a função f é estritamente crescente, o que implica que ela tem no máximo uma raiz naquele intervalo. Para isso calculo a derivada usando a regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui u(x)=x e v(x)=\cos(4x). Temos u'(x)=1 e v'(x)=-4\sin(4x). Assim
f'(x)=\cos(4x)-4x\sin(4x).

Passo 5

Agora obtenho uma cota inferior para f'(x) em \left[-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right]. Uso a desigualdade padrão |\sin t|\le |t| (válida para todo t), aplicada a t=4x, que dá |\sin(4x)|\le |4x|. Então
|4x\sin(4x)|\le 4|x|\cdot | \sin(4x)| \le 4|x|\cdot |4x| =16x^2.
Isto implica
f'(x)=\cos(4x)-4x\sin(4x)\ge \cos(4x)-|4x\sin(4x)| \ge \cos(4x)-16x^2.
Para x\in\left[-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right] temos 4x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right], então
\cos(4x)\ge \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Também, para esses x,
16x^2 \le 16\left(\frac{\pi}{16}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}.
Logo, para todo x no intervalo,
f'(x)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2}{16}.
Agora faço as aproximações numéricas (apenas para verificar positividade):
\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70711,\qquad \frac{\pi^2}{16}\approx 0,61685,
portanto
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2}{16}\approx 0,09026>0.
Assim f'(x)>0 para todo x\in\left[-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right].

Passo 6

Como f' é positiva em \left[-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right], a função f é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz ali. Já sabemos que f(0)=0 (substituindo x=0 em f(x)=x\cos(4x) dá zero), então existe pelo menos uma raiz no intervalo. Combinando “no máximo uma” com “pelo menos uma”, concluímos que existe exatamente uma raiz em \left(-\frac{\pi}{16},\frac{\pi}{16}\right), e essa raiz é x=0.

Resposta

(a) \left(-\dfrac{\pi}{16},\,\dfrac{\pi}{16}\right)
(b) Porque f(0)=0 e em \left[-\dfrac{\pi}{16},\dfrac{\pi}{16}\right] temos f'(x)=\cos(4x)-4x\sin(4x)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\pi^2}{16}>0, logo f é estritamente crescente ali e tem no máximo uma raiz; como 0 é raiz, é a única no intervalo.

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