Questão 4: Seja dada a função
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) Encontrar um intervalo onde exista somente uma raiz de
.
b) Justificar a escolha do intervalo.
Informações úteis dadas pelo enunciado: a fórmula explícita de . A resolução começará a partir do próximo passo.
a) Encontrar um intervalo
b) Justificar a escolha do intervalo.
Informações úteis dadas pelo enunciado: a fórmula explícita de
Passo 2
Primeiro identifico onde estão as raízes de
para entender o espaçamento entre elas (isso me ajuda a escolher um intervalo que contenha só uma raiz). A equação
é equivalente a
logo as raízes ocorrem quando
ou quando
. Resolver
dá
ou seja
Portanto as raízes não nulas mais próximas de
são
. Isso mostra que entre
e
a única possível raiz é
. A partir daqui vou escolher um intervalo mais estreito centrado em
e provar que nele existe exatamente uma raiz.
Passo 3
Escolho o intervalo
Motivação informal: esse intervalo está estritamente contido em
, logo não contém as raízes
. Resta então provar que dentro dele há exatamente uma raiz (e mostrar qual é).
Passo 4
Vou mostrar que em
a função
é estritamente crescente, o que implica que ela tem no máximo uma raiz naquele intervalo. Para isso calculo a derivada usando a regra do produto: se
então
. Aqui
e
. Temos
e
. Assim
Passo 5
Agora obtenho uma cota inferior para
em
. Uso a desigualdade padrão
(válida para todo
), aplicada a
, que dá
. Então
Isto implica
Para
temos
, então
Também, para esses
,
Logo, para todo
no intervalo,
Agora faço as aproximações numéricas (apenas para verificar positividade):
portanto
Assim
para todo
.
Passo 6
Como
é positiva em
, a função
é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz ali. Já sabemos que
(substituindo
em
dá zero), então existe pelo menos uma raiz no intervalo. Combinando “no máximo uma” com “pelo menos uma”, concluímos que existe exatamente uma raiz em
, e essa raiz é
.
Resposta
(a)
(b) Porque e em
temos
, logo
é estritamente crescente ali e tem no máximo uma raiz; como
é raiz, é a única no intervalo.
(b) Porque