Questão 1. Seja v=(4,6,8), u=(2,-2,0) e w=(2,0,4), determine:
a) v+u
b) |v+u|
c) v+w
d) O Produto Escalar v cdot w
e) O Produto Vetorial u times w
f) O Produto Misto (v, u, w)
g) o vetor projeção de v sobre u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores: v = (4, 6, 8), u = (2, -2, 0) e w = (2, 0, 4). A matéria que vamos mexer envolve operações com vetores, como soma, magnitude, produto escalar, produto vetorial, produto misto e projeção. Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar das definições dessas operações e aplicar passo a passo. Vamos nessa!

Passo 2

a) v + u

O que é soma de vetores?
Somar dois vetores significa juntar suas componentes correspondentes. Basicamente, somamos cada coordenada de um vetor com a mesma coordenada do outro.
Como fazer isso?
Vamos somar cada componente de v com a de u:
v + u = (4 + 2, , 6 + (-2), , 8 + 0)
Calculando:
v + u = (6, 4, 8)

Passo 3

b) |v+u|

O que é magnitude de um vetor?
A magnitude de um vetor é o seu comprimento. Para calcular, usamos a fórmula da raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Como calcular?
Já sabemos que v + u = (6, 4, 8). A magnitude é:
|v + u| = raiz6^2 + 4^2 + 8^2 = raiz36 + 16 + 64 = raiz116
Simplificando:
|v + u| = 2raiz29 (ou aproximadamente 10,77)

Passo 4

c) v + w

Como somar vetores novamente?
Igual ao que fizemos antes, somamos cada componente de v com a de w.
v + w = (4 + 2, , 6 + 0, , 8 + 4)
Calculando:
v + w = (6, 6, 12)

Passo 5

d) Produto Escalar v cdot w

O que é produto escalar?
O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número. Ele é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos.
Como calcular?
Para v = (4, 6, 8) e w = (2, 0, 4):
v cdot w = (4 times 2) + (6 times 0) + (8 times 4) = 8 + 0 + 32 = 40

Passo 6

e) Produto Vetorial u times w

O que é produto vetorial?
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A direção segue a regra da mão direita e a magnitude está relacionada às áreas dos paralelogramos formados pelos vetores.
Como calcular?
Para u = (2, -2, 0) e w = (2, 0, 4), usamos a matriz determinante:
u times w = i & j & k 2 & -2 & 0 2 & 0 & 4
Calculando:
u times w = i((-2)(4) - (0)(0)) - j((2)(4) - (0)(2)) + k((2)(0) - (-2)(2))
= i(-8) - j(8) + k(4)
= (-8, -8, 4)

Passo 7

f) Produto Misto (v, u, w)

O que é o produto misto?
O produto misto entre três vetores é um número que representa o volume do paralelepípedo formado por eles. É calculado como o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois.
Como calcular?
Vamos calcular v cdot (u times w).
Já sabemos que u times w = (-8, -8, 4).
Então,
v cdot (u times w) = (4)(-8) + (6)(-8) + (8)(4) = -32 -48 +32 = -48

Passo 8

g) Vetor Projeção de v sobre u

O que é projeção de um vetor sobre outro?
A projeção de v sobre u é o vetor que representa a componente de v na direção de u. É como “projeta” v na linha definida por u.
Como calcular?
A fórmula da projeção de v sobre u é:
Proju v = ( v cdot u|u|^2 ) u
Primeiro, vamos calcular v cdot u e |u|^2.
v cdot u = (4)(2) + (6)(-2) + (8)(0) = 8 -12 +0 = -4
|u|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 +4 +0 =8
Agora, substituindo na fórmula:
Proju v = ( -48 ) u = -12 u = -12 (2, -2, 0) = (-1, 1, 0)

Resposta

a) v + u = (6, 4, 8)
b) |v + u| = 2raiz29
c) v + w = (6, 6, 12)
d) v cdot w = 40
e) u times w = (-8, -8, 4)
f) Produto Misto (v, u, w) = -48
g) Projeção de v sobre u é (-1, 1, 0)

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