Sejam A=[cc0 & -1 1 & 4], B=A^-1, C=2 A e I a identidade 2 times 2. Encontre a(s) matriz(es) X=[llx & y z & w], se existir(em), de tal modo que B X-I=C^-1.

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Temos as matrizes A = 0 & -1 1 & 4 , B = A^-1 , C = 2A e I que é a identidade 2 times 2 . A tarefa é encontrar a matriz X = x & y z & w que satisfaz a equação B X - I = C^-1 .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular a inversa de uma matriz e utilizar propriedades de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz A , ou seja, A^-1 .
A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 , M = a & b c & d , é dada por:
M^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Calculando o determinante de A :
det(A) = (0)(4) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
Então,
A^-1 = 11 4 & 1 -1 & 0 = 4 & 1 -1 & 0
Portanto, B = A^-1 = 4 & 1 -1 & 0 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz C , que é C^-1 . Sabemos que C = 2A .
Primeiro, calculamos 2A :
C = 2A = 2 0 & -1 1 & 4 = 0 & -2 2 & 8
Para encontrar C^-1 , usamos a mesma fórmula da inversa para matrizes 2 times 2 .
Calculando o determinante de C :
det(C) = (0)(8) - (-2)(2) = 0 + 4 = 4
Então,
C^-1 = 14 8 & 2 -2 & 0 = 2 & 0.5 -0.5 & 0

Passo 4

Agora, vamos substituir B e C^-1 na equação original:
B X - I = C^-1
Substituindo:
4 & 1 -1 & 0 X - 1 & 0 0 & 1 = 2 & 0.5 -0.5 & 0

Passo 5

Vamos resolver para X . Primeiro, adicionamos I aos dois lados da equação:
B X = I + C^-1
Calculando I + C^-1 :
1 & 0 0 & 1 + 2 & 0.5 -0.5 & 0 = 3 & 0.5 -0.5 & 1
Então:
B X = 3 & 0.5 -0.5 & 1

Passo 6

Para isolar X , multiplicamos ambos os lados pela inversa de B , que sabemos que B = A^-1 , então B^-1 = A :
X = B^-1 3 & 0.5 -0.5 & 1 = A 3 & 0.5 -0.5 & 1
Multiplicando as matrizes:
A 3 & 0.5 -0.5 & 1 = 0 cdot 3 + (-1)(-0.5) & 0 cdot 0.5 + (-1)(1) 1 cdot 3 + 4 cdot (-0.5) & 1 cdot 0.5 + 4 cdot 1 = 0 + 0.5 & 0 - 1 3 - 2 & 0.5 + 4 = 0.5 & -1 1 & 4.5

Resposta

A matriz X que satisfaz a equação B X - I = C^-1 é:
X = 0.5 & -1 1 & 4.5

Exercícios relacionados