Questão 4
Seja
uma função duas vezes diferenciável tal que
é o único ponto crítico de
.
Sabendo que
e
, classifique o ponto crítico
quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos o ponto crítico
da função
como máximo local, mínimo local ou sela. As informações dadas são:
e sabe-se que
é o único ponto crítico de
. Não precisamos de mais dados do enunciado para a classificação pedida.
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender a ferramenta que usamos: o teste das segundas derivadas (ou teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar isso devagarinho.
Definições e ideia:
- Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente é nulo; aqui já foi dado que
é um ponto crítico. - Para classificar um ponto crítico usamos as segundas derivadas em
. Definimos o discriminante (determinante do Hessiano) em por
O que essas quantidades significam, em palavras simples:
-
mede a curvatura da função na direção (se é côncava para cima ou para baixo ao longo do eixo em ). -
mede a curvatura na direção . -
mede a interação das direções e .
Regras do teste:
- Se
e , então é mínimo local. - Se
e , então é máximo local. - Se
, então é ponto de sela (sela). - Se
, o teste é inconclusivo e precisamos de mais informações (isso não é o caso aqui, provavelmente).
Passo 3
Vamos calcular
com os números dados. Substituindo:
Agora as contas passo a passo:
Logo
Passo 4
Interpretando o resultado com as regras do teste:
- Encontramos
.
Pelo teste das segundas derivadas, quandoo ponto crítico é um ponto de sela. Então a classificação é sela.
Passo 5
Para fixar a intuição (útil na hora da prova): podemos olhar a aproximação quadrática de
perto de
(expansão de Taylor até segunda ordem). Escrevendo
como um pequeno deslocamento a partir de
, temos
Substituindo os valores dados:
Agora veja que:
- Se escolhemos
, então para : há direções em que a função aumenta. - Se escolhemos
, então para : há direções em que a função diminui.
Ter aumentos e diminuições em direções diferentes é a marca de uma sela — confirma o que o determinante negativo já indicou.
Passo 6
Resumo e incentivo: o discriminante deu
, o que implica que
é um ponto de sela. Bom trabalho por encarar a questão — essa é uma aplicação direta e muito comum do teste das segundas derivadas; com prática você faz isso de olhos fechados (quase!).