Questão 4

Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função duas vezes diferenciável tal que P=(2,3) é o único ponto crítico de \ell.
Sabendo que \ell_{x x}(P)=2, \ell_{y y}(P)=-5 e \ell_{x y}(P)=1, classifique o ponto crítico P quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos o ponto crítico P=(2,3) da função \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} como máximo local, mínimo local ou sela. As informações dadas são:
\ell_{xx}(P)=2,\qquad \ell_{yy}(P)=-5,\qquad \ell_{xy}(P)=1,
e sabe-se que P é o único ponto crítico de \ell. Não precisamos de mais dados do enunciado para a classificação pedida.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender a ferramenta que usamos: o teste das segundas derivadas (ou teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar isso devagarinho.
Definições e ideia:
  • Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente é nulo; aqui já foi dado que P é um ponto crítico.
  • Para classificar um ponto crítico usamos as segundas derivadas em P. Definimos o discriminante (determinante do Hessiano) em P por
D(P)=\ell_{xx}(P)\,\ell_{yy}(P)-\big(\ell_{xy}(P)\big)^2.
O que essas quantidades significam, em palavras simples:
  • \ell_{xx}(P) mede a curvatura da função na direção x (se é côncava para cima ou para baixo ao longo do eixo x em P).
  • \ell_{yy}(P) mede a curvatura na direção y.
  • \ell_{xy}(P) mede a interação das direções x e y.
Regras do teste:
  • Se D(P)>0 e \ell_{xx}(P)>0, então P é mínimo local.
  • Se D(P)>0 e \ell_{xx}(P)<0, então P é máximo local.
  • Se D(P)<0, então P é ponto de sela (sela).
  • Se D(P)=0, o teste é inconclusivo e precisamos de mais informações (isso não é o caso aqui, provavelmente).

Passo 3

Vamos calcular D(P) com os números dados. Substituindo:
D(P)=\ell_{xx}(P)\,\ell_{yy}(P)-\big(\ell_{xy}(P)\big)^2 = 2\cdot(-5)-1^2.
Agora as contas passo a passo:
2\cdot(-5) = -10,
-10 - 1 = -11.
Logo
D(P) = -11.

Passo 4

Interpretando o resultado com as regras do teste:
  • Encontramos D(P) = -11 < 0.
    Pelo teste das segundas derivadas, quando D(P)<0 o ponto crítico é um ponto de sela. Então a classificação é sela.

Passo 5

Para fixar a intuição (útil na hora da prova): podemos olhar a aproximação quadrática de \ell perto de P (expansão de Taylor até segunda ordem). Escrevendo (h,k) como um pequeno deslocamento a partir de P, temos
\ell(P+h,k)\approx \ell(P) + \tfrac{1}{2}\big(\ell_{xx}(P)h^2 + 2\ell_{xy}(P)hk + \ell_{yy}(P)k^2\big).
Substituindo os valores dados:
Q(h,k)=\tfrac{1}{2}\big(2h^2 + 2\cdot1\cdot hk -5k^2\big)=h^2 + hk -\tfrac{5}{2}k^2.
Agora veja que:
  • Se escolhemos k=0, então Q(h,0)=h^2>0 para h\neq0: há direções em que a função aumenta.
  • Se escolhemos h=0, então Q(0,k)=-\tfrac{5}{2}k^2<0 para k\neq0: há direções em que a função diminui.
    Ter aumentos e diminuições em direções diferentes é a marca de uma sela — confirma o que o determinante negativo já indicou.

Passo 6

Resumo e incentivo: o discriminante deu D(P)=-11<0, o que implica que P é um ponto de sela. Bom trabalho por encarar a questão — essa é uma aplicação direta e muito comum do teste das segundas derivadas; com prática você faz isso de olhos fechados (quase!).

Resposta

P é um ponto de sela.

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