(F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma:
Mesa Hambúrguer Refrigerante Porçã de <br> fritas
1^a 4 2 2
2^a 6 8 3
3^a 2 3 1
A conta da 1^a mesa foi R 18,00 e da 2^{\mathrm{a}} mesa R30,00. Com esses dados:
c) é possível calcular a conta da 3^a mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes do lanche.

Passo 1

O enunciado dá os consumos em três mesas de uma lanchonete e os totais das duas primeiras contas. Precisamos usar sistemas lineares e combinação linear de vetores para:
1. Verificar se é possível encontrar o preço de cada item de forma única.
2. Calcular o valor da conta da 3ª mesa, mesmo que os preços unitários não fiquem determinados.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x = preço unitário do hambúrguer,
y = preço unitário do refrigerante,
z = preço unitário da porção de fritas.
Das duas primeiras mesas, obtemos o sistema
4x + 2y + 2z = 18,
6x + 8y + 3z = 30

Passo 3

Note que são 2 equações para 3 incógnitas, logo o sistema é indeterminado e admite infinitas soluções. Portanto não podemos determinar valores únicos para x, y e z.

Passo 4

Para calcular o total da 3ª mesa (consumo (2,3,1)), vemos se esse vetor é combinação linear dos vetores das mesas 1 e 2. Buscamos alpha,beta tais que
(2,3,1) ;=;alpha,(4,2,2);+;beta,(6,8,3)

Passo 5

Isso gera o sistema em alpha,beta:
4alpha + 6beta = 2,
2alpha + 8beta = 3
Resolvendo,
beta = 0,4, alpha = -0,1

Passo 6

O valor da 3^a conta é então
alpha cdot 18 + beta cdot 30 = (-0,1) cdot 18 + 0,4 cdot 30 = -1,8 + 12 = 10,2
Logo a conta da 3^a mesa é R$ 10,20.

Resposta

É possível calcular a conta da 3^a mesa, que fica em R$ 10,20, mas não é possível saber exatamente os preços unitários de hambúrguer, refrigerante e fritas, pois o sistema original tem infinitas soluções.

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