Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
(Regras de sinal) -(alpha beta)=(-alpha) beta=alpha(-beta),(-alpha)(-beta)=alpha beta,-(alpha+beta)=-alpha-beta e -(-alpha)=-alpha.

Passo 1

O enunciado pede para, num corpo F, provar as chamadas regras de sinal:
-(alphabeta)=(-alpha)beta=alpha(-beta),(-alpha)(-beta)=alphabeta, -(alpha+beta)=-alpha-beta, -(-alpha)=alpha
Para isso vamos usar a definição de inverso aditivo (o “menos”) e as leis de distributividade, comutatividade e existência de elemento neutro.

Passo 2

Provar (-alpha)beta=-(alphabeta).
Pela distributividade e pelo fato de (-alpha)+alpha=0, temos
(-alpha)beta + alphabeta = l((-alpha)+alphar)beta = 0cdotbeta = 0
Como (-alpha)beta somado a alphabeta dá zero, (-alpha)beta é o inverso aditivo de alphabeta. Logo
(-alpha)beta = -(alphabeta)

Passo 3

Provar alpha(-beta)=-(alphabeta).
De modo análogo, pela distributividade em alphal((-beta)+betar), temos
alpha(-beta) + alphabeta = alphal((-beta)+betar) = alphacdot 0 = 0
Assim alpha(-beta) é inverso aditivo de alphabeta, isto é
alpha(-beta) = -(alphabeta)

Passo 4

Concluir -(alphabeta)=(-alpha)beta=alpha(-beta).
Dos passos 2 e 3 vemos que tanto (-alpha)beta quanto alpha(-beta) são iguais ao inverso de alphabeta. Portanto
-(alphabeta) = (-alpha)beta = alpha(-beta)

Passo 5

Provar -(-alpha)=alpha.
Pela definição, -(-alpha) é o único elemento que somado a -alpha dá zero. Mas temos
(-alpha)+alpha = 0
pelo inverso de alpha. Assim alpha também é inverso de -alpha, e pela unicidade do inverso aditivo segue
-(-alpha) = alpha

Passo 6

Provar (-alpha)(-beta)=alphabeta.
Usando o resultado do passo 4 com alpha trocado por -alpha e beta por -beta, obtemos
-(,( -alpha)(-beta),) = (-(-alpha))(-beta) = alpha(-beta) = -(alphabeta)
Logo (-alpha)(-beta) é o inverso de -(alphabeta). Mas pelo passo 5 -(alphabeta) tem inverso igual a alphabeta. Concluímos
(-alpha)(-beta)=alphabeta

Passo 7

Provar -(alpha+beta) = -alpha - beta.
Pela distributividade da soma sobre a adição de inversos,
(alpha+beta) + l((-,alpha)+(-,beta)r) = (alpha+(-alpha)) + (beta+(-beta)) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que (-alpha)+(-beta) é o inverso aditivo de alpha+beta. Portanto
-(alpha+beta) = -alpha - beta

Resposta

As regras de sinal em F ficam então comprovadas:
-(alphabeta)=(-alpha)beta=alpha(-beta), (-alpha)(-beta)=alphabeta, -(alpha+beta)=-alpha-beta, -(-alpha)=alpha

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