Questão 1. Seja
um corpo. Prove que:
(Regras de sinal)
e
.
(Regras de sinal)
Passo 1
O enunciado pede para, num corpo
, provar as chamadas regras de sinal:
Para isso vamos usar a definição de inverso aditivo (o “menos”) e as leis de distributividade, comutatividade e existência de elemento neutro.
Passo 2
Provar
.
Pela distributividade e pelo fato de , temos
Pela distributividade e pelo fato de
Como
somado a
dá zero,
é o inverso aditivo de
. Logo
Passo 3
Provar
.
De modo análogo, pela distributividade em , temos
De modo análogo, pela distributividade em
Assim
é inverso aditivo de
, isto é
Passo 4
Concluir
.
Dos passos 2 e 3 vemos que tanto quanto
são iguais ao inverso de
. Portanto
Dos passos 2 e 3 vemos que tanto
Passo 5
Provar
.
Pela definição, é o único elemento que somado a
dá zero. Mas temos
Pela definição,
pelo inverso de
. Assim
também é inverso de
, e pela unicidade do inverso aditivo segue
Passo 6
Provar
.
Usando o resultado do passo 4 com trocado por
e
por
, obtemos
Usando o resultado do passo 4 com
Logo
é o inverso de
. Mas pelo passo 5
tem inverso igual a
. Concluímos
Passo 7
Provar
.
Pela distributividade da soma sobre a adição de inversos,
Pela distributividade da soma sobre a adição de inversos,
Isso mostra que
é o inverso aditivo de
. Portanto
Resposta
As regras de sinal em
ficam então comprovadas: