Questão 1. Seja
um corpo. Prove que:
Cada escalar possui um único inverso aditivo.
Portanto, o único inverso aditivo de um elemento
pode ser denotado por
, sem ambiguidade.
Cada escalar possui um único inverso aditivo.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, em um corpo
, o inverso aditivo de qualquer elemento é único. Aqui estamos usando que
é um grupo abeliano com elemento neutro
e que todo
tem pelo menos um inverso aditivo.
Passo 2
Suponha que
e
sejam ambos inversos aditivos de
. Isso significa que
Passo 3
Usando associatividade e comutatividade da adição em
, escrevemos
Passo 4
Como
, concluímos que não podem existir dois inversos aditivos distintos de
. Logo, o inverso aditivo é único.
Resposta
Cada
tem exatamente um inverso aditivo, e por isso podemos denotá-lo sem ambiguidade por
.