Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
Cada escalar possui um único inverso aditivo.
Portanto, o único inverso aditivo de um elemento alpha in F pode ser denotado por -alpha, sem ambiguidade.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, em um corpo F, o inverso aditivo de qualquer elemento é único. Aqui estamos usando que (F,+) é um grupo abeliano com elemento neutro 0 e que todo alphainF tem pelo menos um inverso aditivo.

Passo 2

Suponha que beta e gamma sejam ambos inversos aditivos de alpha. Isso significa que
alpha + beta = 0,
alpha + gamma = 0

Passo 3

Usando associatividade e comutatividade da adição em F, escrevemos
beta = beta + 0 = beta + (alpha + gamma) = (beta + alpha) + gamma = (alpha + beta) + gamma = 0 + gamma = gamma

Passo 4

Como beta = gamma, concluímos que não podem existir dois inversos aditivos distintos de alpha. Logo, o inverso aditivo é único.

Resposta

Cada alphainF tem exatamente um inverso aditivo, e por isso podemos denotá-lo sem ambiguidade por -alpha.

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