Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
O elemento neutro do produto é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um corpo F, não podem existir dois elementos distintos que funcionem ambos como elemento neutro da multiplicação. O conteúdo aqui é a teoria de estruturas algébricas (grupos abelianos multiplicativos) e vamos usar apenas a definição de elemento neutro e as propriedades de fechamento e associatividade, sem precisar de mais teoremas.

Passo 2

Definição: dizemos que einF é elemento neutro do produto se, para todo xinF, vale
ecdot x = x e xcdot e = x
Suponha agora que existam dois supostos neutros do produto, digamos e e e', ambos em F.

Passo 3

Como e é neutro, aplicando-o a e' temos
ecdot e' = e'
Por outro lado, como e' também é neutro, aplicando-o a e obtemos
ecdot e' = e
Comparando as duas expressões para ecdot e', segue-se
e = e'
Logo não podem existir dois neutros diferentes: qualquer par de candidatos coincide.

Resposta

O elemento neutro do produto em F é único.

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