Questão 1. Seja
um corpo. Prove que:
O elemento neutro do produto é único.
O elemento neutro do produto é único.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um corpo
, não podem existir dois elementos distintos que funcionem ambos como elemento neutro da multiplicação. O conteúdo aqui é a teoria de estruturas algébricas (grupos abelianos multiplicativos) e vamos usar apenas a definição de elemento neutro e as propriedades de fechamento e associatividade, sem precisar de mais teoremas.
Passo 2
Definição: dizemos que
é elemento neutro do produto se, para todo
, vale
Suponha agora que existam dois supostos neutros do produto, digamos
e
, ambos em
.
Passo 3
Como
é neutro, aplicando-o a
temos
Por outro lado, como
também é neutro, aplicando-o a
obtemos
Comparando as duas expressões para
, segue-se
Logo não podem existir dois neutros diferentes: qualquer par de candidatos coincide.
Resposta
O elemento neutro do produto em
é único.