Questão 1. Seja
um corpo. Prove que:
O elemento neutro da soma é único. Ou seja, existe um único elemento
que satisfaz à seguinte propriedade: Para todo
, tem-se que
.
Deste modo, a notação 0 para o elemento neutro da soma não gera nenhuma ambiguidade.
O elemento neutro da soma é único. Ou seja, existe um único elemento
Passo 1
A gente sabe que
é um campo, e em particular um grupo abeliano sob a soma. Pelo axioma de grupo, existe pelo menos um elemento neutro da soma, digamos
, tal que para todo
vale
. A missão aqui é mostrar que não podem existir dois elementos distintos desempenhando esse papel de neutro.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam dois elementos neutros diferentes,
e
, ambos satisfazendo
e
para todo
.
Como é neutro, podemos escolher
na definição e obter
Como
e como
é neutro, escolhendo
vem
Passo 3
Usando a comutatividade da soma, temos
. Então as igualdades acima mostram
ou seja,
. Logo não há dois neutros diferentes: o elemento neutro da soma é único.
Resposta
O elemento neutro da soma em
é único, permitindo que o notação
não gere ambiguidade.