Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
O elemento neutro da soma é único. Ou seja, existe um único elemento z in F que satisfaz à seguinte propriedade: Para todo alpha in F, tem-se que alpha+z=z+alpha=alpha.
Deste modo, a notação 0 para o elemento neutro da soma não gera nenhuma ambiguidade.

Passo 1

A gente sabe que F é um campo, e em particular um grupo abeliano sob a soma. Pelo axioma de grupo, existe pelo menos um elemento neutro da soma, digamos z, tal que para todo alphainF vale alpha+z=z+alpha=alpha. A missão aqui é mostrar que não podem existir dois elementos distintos desempenhando esse papel de neutro.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam dois elementos neutros diferentes, z e z', ambos satisfazendo alpha+z=z+alpha=alpha e alpha+z'=z'+alpha=alpha para todo alphainF.
Como z é neutro, podemos escolher alpha=z' na definição e obter
z'+z=z'
e como z' é neutro, escolhendo alpha=z vem
z+z'=z.

Passo 3

Usando a comutatividade da soma, temos z+z'=z'+z. Então as igualdades acima mostram
z'=z+z'=z,
ou seja, z=z'. Logo não há dois neutros diferentes: o elemento neutro da soma é único.

Resposta

O elemento neutro da soma em F é único, permitindo que o notação 0 não gere ambiguidade.

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