Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
(Lei do cancelamento da soma) Se alpha+beta=alpha+gamma, então beta=gamma.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um corpo F, a lei do cancelamento da soma: se alpha+beta=alpha+gamma, então beta=gamma. Para isso, vamos usar as propriedades de corpo: existência de inverso aditivo, elemento neutro aditivo e associatividade da adição.

Passo 2

Pela existência de inverso aditivo em F, para cada alpha existe um elemento -alpha tal que alpha+(-alpha)=0. Podemos somar -alpha aos dois lados da igualdade dada:
(-alpha)+(alpha+beta)=(-alpha)+(alpha+gamma)

Passo 3

Usando a associatividade da adição, reagrupamos os parênteses:
l((-alpha)+alphar)+beta = l((-alpha)+alphar)+gamma

Passo 4

Pela definição de inverso aditivo, (-alpha)+alpha=0. Substituindo esse valor, obtemos
0+beta = 0+gamma

Passo 5

Como 0 é o elemento neutro da adição, 0+beta=beta e 0+gamma=gamma. Logo,
beta=gamma

Resposta

beta=gamma

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