Resolva os exercícios abaixo utilizando os conceitos de equações de retas no espaço. Especifique as formas paramétrica, vetorial e simétrica quando solicitado.
Escreva a equação das retas abaixo (formas paramétrica, vetorial e simétrica) a partir de dois pontos:
P0=(-2,4,0) e P1=(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta que passa pelos pontos P0=(-2,4,0) e P1=(1,0,-1), fornecendo as formas paramétrica, vetorial e simétrica. O conteúdo aqui é equações de retas no espaço, e o que vamos precisar é o vetor diretor obtido pela diferença P1-P0 e as fórmulas gerais para cada forma de reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor v subtraindo as coordenadas de P0 das de P1:
v = P1 - P0 = (,1 - (-2),;0 - 4,;-1 - 0,) = (,3,,-4,,-1,)

Passo 3

Na forma paramétrica, escrevemos cada coordenada em função de um parâmetro t, partindo de P0:
x = -2 + 3t, y = 4 - 4t e z = 0 - t.

Passo 4

Na forma vetorial, usamos o ponto P0 e o vetor diretor v:
r(t) = (-2,,4,,0) + t,(3,,-4,,-1)

Passo 5

Para chegar à forma simétrica, isolamos t em cada equação paramétrica e igualamos:
t = x+23, t = y-4-4, t = z-0-1,
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x + 23 = y - 4-4 = z-1

Resposta

Forma paramétrica: x = -2 + 3t, y = 4 - 4t e z = -t.
r(t) = (-2,,4,,0) + t,(3,,-4,,-1)
Forma simétrica:
x + 23 = y - 4-4 = z-1

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