Questão 3

Seja f a seguinte função:
f: R^* & R x & 2 x+1+1x^2
Provar que f tem uma assíntota oblíqua e dar a equação da assíntota.

Passo 1

O enunciado define a função f: R^* to R, f(x)=2x+1+tfrac1x^2, e pede para provar que ela tem assíntota oblíqua. Para achar uma assíntota do tipo y=ax+b consideramos as fórmulas que vêm da definição: a=limxtopminftyf(x)x e b=limxtopminfty[f(x)-ax].

Passo 2

Para calcular o coeficiente angular a usamos
limxtopminftyf(x)x =limxtopminfty2x+1+tfrac1x^2x =limxtopminftyl(2+1x+1x^3r) =2

Passo 3

Em seguida achamos o coeficiente linear b por
b=limxtopminftyl[f(x)-2xr] =limxtopminftyl(2x+1+tfrac1x^2-2xr) =limxtopminftyl(1+tfrac1x^2r) =1

Passo 4

Para confirmar que y=2x+1 é assíntota oblíqua verificamos o resto
f(x)-(2x+1)=1x^2,,
cuja norma tende a zero quando xtopminfty. Isso mostra que a distância entre o gráfico de f e a reta y=2x+1 vai a zero no infinito.

Passo 5

Resposta

y = 2x + 1

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