Questão 5: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{3}+2 y^{3}}{2 x^{2}+2 y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\ 2 ; & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(0,5) Verifique se f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) existem.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x^3+2y^3}{2x^2+2y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 2,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se as derivadas parciais \,f_x(0,0) e \,f_y(0,0) existem. Vamos usar a definição de derivada parcial como limite da diferença quociente ao longo dos eixos.]

Passo 2

Para calcular \,f_x(0,0) precisamos de f(h,0) quando h\neq0. Nesse caso
f(h,0)=\frac{2h^3+2\cdot0^3}{2h^2+2\cdot0^2} =\frac{2h^3}{2h^2}=h.

Passo 3

A definição de derivada parcial em x é
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Como f(0,0)=2 e f(h,0)=h, temos
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\frac{h-2}{h} =1-\frac{2}{h}.
Quando h\to0, o termo \tfrac{2}{h} explode (vai para \pm\infty), então o limite não existe. Logo
f_x(0,0)\text{ não existe.}ã

Passo 4

De modo análogo para \,f_y(0,0) avaliamos f(0,k) com k\neq0:
f(0,k)=\frac{2\cdot0^3+2k^3}{2\cdot0^2+2k^2} =\frac{2k^3}{2k^2}=k.
A derivada parcial em y é
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{k-2}{k} =1-\frac{2}{k},
que também não converge.

Resposta

As duas derivadas parciais em (0,0) não existem.

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