A função é f(x,y)=\ln(1+x+y)\cos\!\left(\frac{1}{\ln(1+x+y)}\right).
O ponto de interesse é (0,0).
A função está bem definida em um ambiente de (0,0) porque \ln(1+x+y) exige 1+x+y>0, o que vale para pontos próximos o suficiente de (0,0).
A dica do enunciado afirma que “somente um limite existe” (ou seja, podemos esperar um único valor limite se ele existir).
Passo 2
Façamos uma observação útil: a função g(u)=\ln(1+u) é contínua em u=0 e g(0)=0. Portanto, se (x,y)\to(0,0) então u=x+y\to0 e consequentemente
\ln(1+x+y)\to0.
Vou chamar \ln(1+x+y) de t para simplificar a notação. Assim, ao aproximar (x,y) de (0,0) temos t\to0.
Passo 3
Reescrevendo a função em termos de t obtemos a expressão típica
f(x,y)=t\cos\!\left(\frac{1}{t}\right),
onde t=\ln(1+x+y) e t\to0 quando (x,y)\to(0,0). Portanto o problema reduz-se ao estudo do comportamento de t\cos(1/t) quando t\to0.
Passo 4
Faço a seguinte observação elementar sobre o cosseno: para todo número real z vale |\cos z|\le 1. Usando isso, para os valores de t (próximos de zero, mas diferentes de zero) temos a desigualdade
Esta desigualdade é a chave: ela diz que o valor absoluto da nossa função está preso entre -|t| e |t|.
Passo 5
Agora aplico o teorema do sanduíche (teorema da compressão / squeeze theorem) no contexto multivariável: se uma função h(x,y) satisfaz |h(x,y)|\le g(x,y) e g(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), então h(x,y)\to0. No nosso caso
Comentário didático final: embora a parte \cos(1/\ln(1+x+y)) oscile cada vez mais quando \ln(1+x+y)\to0, essa oscilação fica multiplicada por um fator \ln(1+x+y) que tende a zero; como o cosseno é limitado entre -1 e 1, o produto é forçado a zero — é o mesmo fenômeno de t\cos(1/t)\to0 quando t\to0.