Seja an=2 n3 n+1.
(a) Determine se an é convergente.
(b) Determine se sumn-1^infty an é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 2n3n + 1
e pede:
  1. Verificar se an converge e, em caso afirmativo, para que valor.
  2. Verificar se a série
sumn=1^infty an
é convergente.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de sequência e critério da convergência de séries (teste do termo geral).

Passo 2

Para estudar o limite de an, dividimos numerador e denominador por n:
an = 2n3n+1 = 23 + tfrac1n
Como tfrac1nto 0 quando ntoinfty, temos

Passo 3

limntoinfty an = limntoinfty 23 + tfrac1n = 23 + 0 = 23
Logo, a sequência converge e seu limite é tfrac23.

Passo 4

Para a série sumn=1^inftyan, um teste necessário de convergência é que o termo geral tenda a zero:
se sum an convergisse então limntoinftyan = 0.

Passo 5

Como mostramos que
limntoinftyan = 23 neq 0,
o termo geral não tende a zero. Portanto

Resposta

(a) A sequência an converge e
limntoinftyan = tfrac23
(b) A série sumn=1^inftyan diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Exercícios relacionados