Questão 10. Sejam z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}, tais que \left|z_{1}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1. Defina z=\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z_{k}}\right). Mostre que z é um número real e que 0 \leq z \leq n^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações dadas:
    • Existem complexos z_{1},z_{2},\ldots,z_{n} tais que \left|z_{1}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1.
    • Definiu-se
    z=\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z_{k}}\right).
  • Perguntas:
    1. Mostrar que z é um número real.
    2. Mostrar que 0 \leq z \leq n^{2}.
Nada mais será resolvido neste passo; apenas identifiquei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Vamos lembrar e provar uma propriedade útil sobre inverso e conjugado de um número complexo (isso é básico e muito usado).
  • Para qualquer w\in\mathbb{C} com w\neq 0 vale a identidade
\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}}.
Explicação curta: escrever w na forma w=a+ib e multiplicar numerador e denominador por \overline{w}=a-ib dá exatamente essa fórmula. Portanto, quando |w|=1 obtemos \dfrac{1}{w}=\overline{w}.
Vou aplicar isso aos nossos z_{k}, já que cada \left|z_{k}\right|=1.

Passo 3

Aplicando o resultado do passo anterior aos z_{k} temos, para todo k,
\frac{1}{z_{k}}=\overline{z_{k}}.
Somando em k fica
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z_{k}}=\sum_{k=1}^{n}\overline{z_{k}}=\overline{\sum_{k=1}^{n}z_{k}}.
Aqui usei a propriedade de que a conjugação é linear: \overline{\sum a_k}=\sum\overline{a_k}.
Defina
S:=\sum_{k=1}^{n}z_{k}.
Então a segunda soma é \overline{S}, e a definição de z fica
z=S\cdot\overline{S}.

Passo 4

Agora use uma propriedade fundamental da conjugação e do módulo:
  • Para todo w\in\mathbb{C} vale
w\overline{w}=|w|^{2}.
Em particular, tomando w=S obtemos
z=S\overline{S}=|S|^{2}.
Como |S|^{2} é um quadrado de módulo, é um número real e não-negativo. Portanto já provamos a primeira parte pedida:
  • z é real (porque é |S|^{2});
  • z\ge 0.

Passo 5

Falta a desigualdade superior. Vamos estimar |S|.
Pelo triângulo (desigualdade triangular) para somas de complexos,
|S|=\left|\sum_{k=1}^{n}z_{k}\right|\le\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|.
Mas por hipótese cada |z_{k}|=1, então
|S|\le\sum_{k=1}^{n}1=n.
Elevando ao quadrado (tudo não-negativo) obtemos
|S|^{2}\le n^{2}.
Mas z=|S|^{2}, logo
z\le n^{2}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores temos exatamente o que se pedia:
  • z é real e não-negativo (pois z=|S|^{2});
  • z\le n^{2} (pela desigualdade triangular e elevação ao quadrado).
Como observação extra (rápida e motivadora): a igualdade z=n^{2} ocorre quando todos os z_{k} são iguais (por exemplo todos iguais a 1 ou a e^{i\theta}), e z=0 pode ocorrer quando os vetores z_k no plano se cancelam (por exemplo, as n-ésimas raízes da unidade centradas somam zero).

Resposta

z é real e 0 \le z \le n^{2}

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