Questão 10. Sejam z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}, tais que \left|z_{1}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1. Defina z=\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z_{k}}\right). Mostre que z é um número real e que 0 \leq z \leq n^{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
Existem complexos z_{1},z_{2},\ldots,z_{n} tais que \left|z_{1}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1.
Nada mais será resolvido neste passo; apenas identifiquei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Vamos lembrar e provar uma propriedade útil sobre inverso e conjugado de um número complexo (isso é básico e muito usado).
Para qualquer w\in\mathbb{C} com w\neq 0 vale a identidade
\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}}.
Explicação curta: escrever w na forma w=a+ib e multiplicar numerador e denominador por \overline{w}=a-ib dá exatamente essa fórmula. Portanto, quando |w|=1 obtemos \dfrac{1}{w}=\overline{w}.
Vou aplicar isso aos nossos z_{k}, já que cada \left|z_{k}\right|=1.
Passo 3
Aplicando o resultado do passo anterior aos z_{k} temos, para todo k,
Juntando os resultados dos passos anteriores temos exatamente o que se pedia:
z é real e não-negativo (pois z=|S|^{2});
z\le n^{2} (pela desigualdade triangular e elevação ao quadrado).
Como observação extra (rápida e motivadora): a igualdade z=n^{2} ocorre quando todos os z_{k} são iguais (por exemplo todos iguais a 1 ou a e^{i\theta}), e z=0 pode ocorrer quando os vetores z_k no plano se cancelam (por exemplo, as n-ésimas raízes da unidade centradas somam zero).