Questão 7 Seja \left(x_{n}\right) uma sequência tal que x_{n} \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}. Mostre que:
Se \frac{\left|x_{n+1}\right|}{\left|x_{n}\right|} \leq C<1, \forall n \in \mathbb{N}, então x_{n} \rightarrow 0;

Passo 1

O enunciado considera uma sequência \bigl(x_{n}\bigr) com x_{n}\neq0 para todo n e supõe que
\frac{\lvert x_{n+1}\rvert}{\lvert x_{n}\rvert}\le C<1
para todo n. Queremos mostrar que x_{n}\to0. O conteúdo envolve comparação com sequência geométrica, uso de indução para obter uma desigualdade geral e, em seguida, aplicação do teorema do aperto (squeeze theorem) para concluir a convergência a zero.

Passo 2

Vamos provar por indução que
\lvert x_{n}\rvert \le \lvert x_{1}\rvert\,C^{\,n-1}
para todo n\in\mathbb{N}.
Base n=1: temos \lvert x_{1}\rvert \le \lvert x_{1}\rvert C^{0}, pois C^{0}=1.
Passo indutivo: suponha que \lvert x_{k}\rvert \le \lvert x_{1}\rvert\,C^{k-1}. Então
\lvert x_{k+1}\rvert =\frac{\lvert x_{k+1}\rvert}{\lvert x_{k}\rvert}\,\lvert x_{k}\rvert \le C\;\bigl(\lvert x_{1}\rvert\,C^{\,k-1}\bigr) =\lvert x_{1}\rvert\,C^{\,k},
o que fecha a indução.

Passo 3

Como 0\le C<1, sabemos que
\lim_{n\to\infty}C^{\,n-1}=0.
Além disso, \lvert x_{n}\rvert é não negativa e satisfaz
0\le \lvert x_{n}\rvert \le \lvert x_{1}\rvert\,C^{\,n-1}.
Pelo teorema do aperto, conclui-se que
\lim_{n\to\infty}\lvert x_{n}\rvert = 0.
Da propriedade de que se \lvert x_{n}\rvert\to0 então x_{n}\to0, obtemos a convergência desejada.

Resposta

x_{n}\rightarrow0.

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