Questão 7 Seja
uma sequência tal que
. Mostre que:
Se
, então
;
Se
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
com
para todo
e supõe que
para todo
. Queremos mostrar que
. O conteúdo envolve comparação com sequência geométrica, uso de indução para obter uma desigualdade geral e, em seguida, aplicação do teorema do aperto (squeeze theorem) para concluir a convergência a zero.
Passo 2
Vamos provar por indução que
para todo
.
Base : temos
, pois
.
Passo indutivo: suponha que . Então
Base
Passo indutivo: suponha que
o que fecha a indução.
Passo 3
Como
, sabemos que
Além disso,
é não negativa e satisfaz
Pelo teorema do aperto, conclui-se que
Da propriedade de que se
então
, obtemos a convergência desejada.