Questão 5: Seja T a transformação Linear em P_{3}(R) dada por :
P(1)=1-t
P(2+t)=t^{3}
P\left(2 t+t^{2}\right)=1-t^{2}
P\left(t^{2}+t^{3}\right)=1+t^{2}
Vamos determinar T\left(x+y t+z t^{2}+w t^{3}\right) onde x+y t+z t^{2}+w t^{3} é um polinômio qualquer de P_{3}(R) e, a seguir, calcule T\left(1-t+2 t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \displaystyle T\colon P_{3}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R})
pelas imagens de quatro polinômios independentes:
T(1)=1-t, \quad T(2+t)=t^{3}, \quad T(2t+t^{2})=1-t^{2}, \quad T(t^{2}+t^{3})=1+t^{2}.
Queremos, primeiro, determinar T em cada monômio da base \{1,t,t^{2},t^{3}\}, depois usar linearidade para achar
T\bigl(x + y\,t + z\,t^{2} + w\,t^{3}\bigr),
e por fim calcular T(1 - t + 2t^{3}).

Passo 2

Da igualdade
T(2+t)=2\,T(1)+T(t)=t^{3}
e sabendo T(1)=1-t, obtemos
2\,(1-t)+T(t)=t^{3} \quad\Longrightarrow\quad T(t)=t^{3}-2\,(1-t)= -2 +2t + t^{3}.

Passo 3

Da igualdade
T(2t+t^{2})=2\,T(t)+T(t^{2})=1-t^{2}
e usando T(t)=-2+2t+t^{3}, temos
2\,(-2+2t+t^{3}) + T(t^{2}) = 1 - t^{2} \quad\Longrightarrow\quad T(t^{2}) = 1 - t^{2} -2(-2+2t+t^{3})
\phantom{T(t^{2})} =1 - t^{2} +4 -4t -2t^{3} =5 -4t - t^{2} -2t^{3}.

Passo 4

Da igualdade
T(t^{2}+t^{3})=T(t^{2})+T(t^{3})=1+t^{2}
e usando T(t^{2})=5-4t -t^{2}-2t^{3}, segue
T(t^{3}) = 1 + t^{2} - (5 -4t - t^{2} -2t^{3})
\phantom{T(t^{3})} =1 + t^{2} -5 +4t + t^{2} +2t^{3} =-4 +4t +2t^{2} +2t^{3}.

Passo 5

Para um polinômio genérico \displaystyle p(t)=x + y\,t + z\,t^{2} + w\,t^{3}, pela linearidade
T(p) = x\,T(1) + y\,T(t) + z\,T(t^{2}) + w\,T(t^{3}).
Substituindo os resultados:
T(p) = x(1 - t) + y(-2 +2t + t^{3}) + z(5 -4t - t^{2} -2t^{3}) + w(-4 +4t +2t^{2} +2t^{3}).
Agrupando coeficientes em cada monômio,
T(p) =(x -2y +5z -4w) +(-x +2y -4z +4w)\,t +(-z +2w)\,t^{2} +(y -2z +2w)\,t^{3}.

Passo 6

Agora escolhemos x=1, y=-1, z=0, w=2 para p(t)=1 - t +2t^{3}.
Os coeficientes ficam:
constante: 1 -2(-1)+5\cdot0 -4\cdot2 = -5,
coef.\ de t: -1+2(-1)-4\cdot0+4\cdot2 =5,
coef.\ de t^{2}: -0+2\cdot2=4,
coef.\ de t^{3}: -1-2\cdot0+2\cdot2=3.

Resposta

T\bigl(x + y\,t + z\,t^{2} + w\,t^{3}\bigr) =(x -2y +5z -4w) +(-x +2y -4z +4w)\,t +(-z +2w)\,t^{2} +(y -2z +2w)\,t^{3},
T(1 - t + 2t^{3}) = -5 +5t +4t^{2} +3t^{3}.

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