(a) (0.5) Encontre todos os autovalores de A.
(b) (1.5) Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.
(c) (1.0) A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^{-1}, com D diagonal.
e pede:
(a) os autovalores de A,
(b) um conjunto de autovetores linearmente independentes para cada autovalor,
(c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir P e D tais que A=PDP^{-1}.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Logo,
Da linha 3 vem 3z=0\Rightarrow z=0. Da linha 2 vem -3y+2z=0\Rightarrow y=0. A linha 1 dá 14y+3z=0, que já está satisfeita. Sobrou x livre.
Escolhendo x=1 obtemos
Da linha 3 não há nova informação além de z livre, da linha 2 vem 2z=0\Rightarrow z=0. Então a linha 1 dá 3x+14y=0\Rightarrow x=-\tfrac{14}{3}y. Tomando y=3 temos x=-14. Logo
Da linha 2 vem -6y+2z=0\Rightarrow z=3y. Substituindo na linha 1: -3x+14y+3z=-3x+14y+9y=-3x+23y=0\Rightarrow x=\tfrac{23}{3}y. Tomando y=3 temos x=23, z=9. Logo
v_3=\begin{pmatrix}23\\\ 3\\\ 9\end{pmatrix}
é autovetor para \lambda_3=2.
Passo 6
Os vetores v_1,v_2,v_3 são três autovetores correspondentes a valores próprios distintos, portanto são linearmente independentes. Assim, A é diagonalizável.
Passo 7
Montamos a matriz P cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e a matriz diagonal D com \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 na diagonal:
(a) Os autovalores são \lambda_1=-1, \lambda_2=-4, \lambda_3=2.
(b) Autovetores independentes: \;v_1=(1,0,0)^T para \lambda_1=-1, \;v_2=(-14,3,0)^T para \lambda_2=-4, \;v_3=(23,3,9)^T para \lambda_3=2.
(c) A é diagonalizável. Uma escolha é