Seja o espaço vetorial
. Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em
.
<u, v>=u_{1} v_{1}
<u, v>=u_{1} v_{1}
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
em
. Para ser um produto interno, ela deve satisfazer:
. Simetria:
.
. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
. Definida positiva:
e
só se
.
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade. Para quaisquer
e escalar
:
- Simetria:
- Simetria:
- Linearidade no primeiro argumento:
O mesmo vale para o segundo argumento, pela simetria.
Passo 3
Verificamos a positividade:
para todo
. Porém, se tomarmos
, então
mas
. Logo, não vale a condição de definitude positiva estrita.
Resposta
A aplicação
não define um produto interno em
, pois falha em ser definida positiva.