Seja o espaço vetorial V_{2}(\mathbb{R}). Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
<u, v>=u_{1} v_{1}

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
\langle u,v\rangle = u_{1}\,v_{1}
em \mathbb{R}^{2}. Para ser um produto interno, ela deve satisfazer:
1. Simetria: \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
2. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
3. Definida positiva: \langle u,u\rangle \ge 0 e \langle u,u\rangle = 0 só se u=0.

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade. Para quaisquer u,v,w\in\mathbb{R}^2 e escalar \alpha:
- Simetria:
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 = v_1 u_1 = \langle v,u\rangle.
- Linearidade no primeiro argumento:
\langle u+ w, v\rangle = (u_1 + w_1)v_1 = u_1v_1 + w_1v_1 = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle,
\langle \alpha u, v\rangle = (\alpha u_1)v_1 = \alpha\,(u_1v_1) = \alpha\,\langle u,v\rangle.
O mesmo vale para o segundo argumento, pela simetria.

Passo 3

Verificamos a positividade:
\langle u,u\rangle = u_1^2 \ge 0
para todo u. Porém, se tomarmos u=(0,1)\neq(0,0), então
\langle u,u\rangle = 0^2 = 0
mas u\neq 0. Logo, não vale a condição de definitude positiva estrita.

Resposta

A aplicação \langle u,v\rangle = u_1v_1 não define um produto interno em \mathbb{R}^2, pois falha em ser definida positiva.

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