Seja o espaço vetorial
. Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em
.
<u, v>=-2\left(u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}\right)
<u, v>=-2\left(u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz os três axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Simetria: trocando
por
temos
Logo, é simétrica.
Passo 3
Bilinearidade em cada argumento: para escalares
e vetores
,
Analogamente em relação ao segundo argumento. Logo, é bilinear.
Passo 4
Positividade definida: para
,
Como
, segue
. Um produto interno exige
sempre que
. Aqui ocorre o oposto.
Resposta
A aplicação dada não define um produto interno em
, pois falha na positividade definida.