Seja o espaço vetorial V_{2}(\mathbb{R}). Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
<u, v>=-2\left(u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle u,v\rangle = -2\bigl(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\bigr)
em \mathbb{R}^2 satisfaz os três axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Simetria: trocando u por v temos
\langle v,u\rangle = -2\bigl(v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}\bigr) = -2\bigl(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\bigr) = \langle u,v\rangle.
Logo, é simétrica.

Passo 3

Bilinearidade em cada argumento: para escalares a,b e vetores u,u',v,
\langle a\,u + b\,u',\,v\rangle = -2\bigl((a\,u_{1}+b\,u'_{1})v_{1}+(a\,u_{2}+b\,u'_{2})v_{2}\bigr)
= a\bigl(-2(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})\bigr) + b\bigl(-2(u'_{1}v_{1}+u'_{2}v_{2})\bigr) = a\langle u,v\rangle + b\langle u',v\rangle.
Analogamente em relação ao segundo argumento. Logo, é bilinear.

Passo 4

Positividade definida: para u\neq0,
\langle u,u\rangle = -2\bigl(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\bigr).
Como u_{1}^{2}+u_{2}^{2}>0, segue \langle u,u\rangle<0. Um produto interno exige \langle u,u\rangle>0 sempre que u\neq0. Aqui ocorre o oposto.

Resposta

A aplicação dada não define um produto interno em \mathbb{R}^2, pois falha na positividade definida.

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