Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-z, y-z, x-y) .
(a) (1.0) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.
(c) (1.0) A transformação T é injetora? Justifique.
(d) (1.0) A transformação T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x-z,\;y-z,\;x-y).
O conteúdo é subespaços associados a transformações lineares: núcleo (kernel), imagem (range), Teorema da Dimensão (rank–nullity), injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para achar o núcleo de T\), resolvemos \[T(x,y,z)=(0,0,0)\iff \begin{cases} x - z = 0,\\\ y - z = 0,\\\ x - y = 0. \end{cases}
Da primeira e da segunda temos x=z\] e \(y=z. A terceira, x-y=0, é redundante pois já implica x=y. Logo todos os componentes são iguais:
(x,y,z)=(t,t,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Concluímos que
\ker(T)=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}
é uma reta; uma base para \ker(T) é
\{(1,1,1)\}.

Passo 3

Para determinar a imagem, calculamos as colunas do operador em relação à base canônica:
T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(0,1,0)=(0,1,-1),\quad T(0,0,1)=(-1,-1,0).
Note que
(-1,-1,0) = -\bigl((1,0,1)+(0,1,-1)\bigr),
ou seja, a terceira coluna é combinação das duas primeiras. Portanto
\Im(T)=\Span\{(1,0,1),\,(0,1,-1)\},
que é um plano em \mathbb{R}^3. Uma base conveniente é
\{(1,0,1),\;(0,1,-1)\}.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity), \dim\ker(T)=1 e \dim\Im(T)=2. Como \ker(T)\neq\{0\}, a transformação não é injetora.
Como \dim\Im(T)=2<3=\dim\mathbb{R}^3, a imagem não preenche todo o contradomínio. Logo T não é sobrejetora.

Resposta

(a) \ker(T)=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}, base \{(1,1,1)\}.
(b) \Im(T)=\Span\{(1,0,1),(0,1,-1)\}, base \{(1,0,1),(0,1,-1)\}.
(c) T não é injetora, pois \ker(T)\neq\{0\}.
(d) T não é sobrejetora, pois \dim\Im(T)=2<3.

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