Questão 1 Seja
uma transformação linear dada por
(a) (1.0) Determine o núcleo de
e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine a imagem de
e encontre uma base para este subespaço.
(c) (1.0) A transformação
é injetora? Justifique.
(d) (1.0) A transformação
é sobrejetora? Justifique.
(b) (1.0) Determine a imagem de
(c) (1.0) A transformação
(d) (1.0) A transformação
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O conteúdo é subespaços associados a transformações lineares: núcleo (kernel), imagem (range), Teorema da Dimensão (rank–nullity), injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para achar o núcleo de
Da primeira e da segunda temos
. A terceira,
, é redundante pois já implica
. Logo todos os componentes são iguais:
Concluímos que
é uma reta; uma base para
é
Passo 3
Para determinar a imagem, calculamos as colunas do operador em relação à base canônica:
Note que
ou seja, a terceira coluna é combinação das duas primeiras. Portanto
que é um plano em
. Uma base conveniente é
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
e
. Como
, a transformação não é injetora.
Como , a imagem não preenche todo o contradomínio. Logo
não é sobrejetora.
Como
Resposta
(a)
, base
.
(b) , base .
(c) não é injetora, pois
.
(d) não é sobrejetora, pois
.
(b) , base
(c)
(d)