Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 5. Seja W um subespaço vetorial de \mathbb{V}. Considere a função de restrição:
(Aqui, \left.f\right|_{W} denota a restrição da função f a W : O domínio é W, o contradomínio é o mesmo que o de f, e \left.f\right|_{W}(x)=f(x) para todo x \in W.)
Prove que R é linear e sobrejetiva. Supondo que \mathbb{V} tem dimensão finita, mostre que \operatorname{dim}\left(W^{0}\right)=\operatorname{dim}(\mathbb{V})-\operatorname{dim}(W).
Passo 1
O enunciado trabalha em espaços vetoriais sobre um corpo \mathbb{F}. Temos um subespaço W\subseteq \mathbb{V} e consideramos a aplicação
que leva cada funcional f\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F} à sua restrição em W. Precisamos mostrar que R é linear e sobrejetiva. Em seguida, supondo \mathbb{V} de dimensão finita, provar que
\dim\bigl(W^0\bigr)=\dim(\mathbb{V})-\dim(W),
onde W^0=\{f\in\mathbb{V}^*\mid f(w)=0\\ \forall w\in W\}=\ker R.
Passo 2
Provar a linearidade de R. Se f,g\in\mathbb{V}^* e a,b\in\mathbb{F}, então o funcional af+bg satisfaz
Provar que R é sobrejetiva. Seja \varphi\in W^*. Como W é subespaço de \mathbb{V}, existe um subespaço complementar U tal que
\mathbb{V}=W\oplus U.
Defina f\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F} por
f(w+u)=\varphi(w), \quad w\in W,\\ u\in U.
É fácil verificar que f é linear e que f|_{W}=\varphi. Portanto, R(f)=\varphi, o que mostra que R atinge todo W^*.
Passo 4
Identificar núcleo e imagem e aplicar o Teorema da Dimensão. Observamos que
\ker R =\{f\in\mathbb{V}^*\mid f|_{W}=0\} =W^0,
e que \mathrm{im}\,R=W^*. Se \mathbb{V} é de dimensão finita, então \dim(\mathbb{V}^*)=\dim(\mathbb{V}) e \dim(W^*)=\dim(W). Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),