Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 5. Seja W um subespaço vetorial de \mathbb{V}. Considere a função de restrição:
R: \mathbb{V}^{*} \rightarrow W^{*}, \quad R(f)=\left.f\right|_{W}
(Aqui, \left.f\right|_{W} denota a restrição da função f a W : O domínio é W, o contradomínio é o mesmo que o de f, e \left.f\right|_{W}(x)=f(x) para todo x \in W.)
Prove que R é linear e sobrejetiva. Supondo que \mathbb{V} tem dimensão finita, mostre que \operatorname{dim}\left(W^{0}\right)= \operatorname{dim}(\mathbb{V})-\operatorname{dim}(W).

Passo 1

O enunciado trabalha em espaços vetoriais sobre um corpo \mathbb{F}. Temos um subespaço W\subseteq \mathbb{V} e consideramos a aplicação
R\colon \mathbb{V}^* \to W^*, \quad R(f)=\left.f\right|_{W}
que leva cada funcional f\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F} à sua restrição em W. Precisamos mostrar que R é linear e sobrejetiva. Em seguida, supondo \mathbb{V} de dimensão finita, provar que
\dim\bigl(W^0\bigr)=\dim(\mathbb{V})-\dim(W),
onde W^0=\{f\in\mathbb{V}^*\mid f(w)=0\\ \forall w\in W\}=\ker R.

Passo 2

Provar a linearidade de R. Se f,g\in\mathbb{V}^* e a,b\in\mathbb{F}, então o funcional af+bg satisfaz
R(af+bg) =(af+bg)\bigl|_{W} =a\,f\bigl|_{W}+b\,g\bigl|_{W} =a\,R(f)+b\,R(g).
Logo, R é linear.

Passo 3

Provar que R é sobrejetiva. Seja \varphi\in W^*. Como W é subespaço de \mathbb{V}, existe um subespaço complementar U tal que
\mathbb{V}=W\oplus U.
Defina f\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F} por
f(w+u)=\varphi(w), \quad w\in W,\\ u\in U.
É fácil verificar que f é linear e que f|_{W}=\varphi. Portanto, R(f)=\varphi, o que mostra que R atinge todo W^*.

Passo 4

Identificar núcleo e imagem e aplicar o Teorema da Dimensão. Observamos que
\ker R =\{f\in\mathbb{V}^*\mid f|_{W}=0\} =W^0,
e que \mathrm{im}\,R=W^*. Se \mathbb{V} é de dimensão finita, então
\dim(\mathbb{V}^*)=\dim(\mathbb{V}) e \dim(W^*)=\dim(W). Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
\dim(\mathbb{V}^*) =\dim\bigl(\ker R\bigr)+\dim\bigl(\mathrm{im}\,R\bigr) \;\Longrightarrow\; \dim\bigl(W^0\bigr)+\dim(W) =\dim(\mathbb{V}).

Resposta

R é linear e sobrejetiva, e em dimensão finita vale
\dim\bigl(W^0\bigr)=\dim(\mathbb{V})-\dim(W).

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