Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 3. Sejam f, g_{1}, \ldots, g_{n} funcionais lineares sobre um espaço vetorial \mathbb{V}. Prove que são equivalentes:
(a) \operatorname{ker}\left(g_{1}\right) \cap \operatorname{ker}\left(g_{2}\right) \cap \cdots \cap \operatorname{ker}\left(g_{n}\right) \subseteq \operatorname{ker}(f);
(b) f \in \operatorname{span}\left\{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right\}.
Você pode assumir que \operatorname{dim} \mathbb{V}<\infty.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial \mathbb{V} de dimensão finita sobre um corpo \mathbb{F} e funcionais lineares
f,\;g_{1},\dots,g_{n}\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F}.
Queremos mostrar a equivalência entre
(a) \ker(g_{1})\cap\cdots\cap\ker(g_{n})\subseteq\ker(f)
(b) f\in\span\{g_{1},\dots,g_{n}\}.
O conteúdo chave é usar núcleos, fatoração de mapas lineares e a estrutura de \mathbb{F}^n.

Passo 2

Mostramos primeiro que (b) \implies(a). Se
f = a_{1}g_{1} + \cdots + a_{n}g_{n}
para alguns escalares a_{1},\dots,a_{n}, então todo v\in \ker(g_{1})\cap\cdots\cap\ker(g_{n}) satisfaz g_{i}(v)=0 para todo i. Logo
f(v) = a_{1}g_{1}(v) + \cdots + a_{n}g_{n}(v) = 0,
ou seja v\in\ker(f). Assim (a) vale.

Passo 3

Para mostrar (a) \implies(b), definimos o mapa linear
T\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F}^{n},\quad T(v) = \bigl(g_{1}(v),\,g_{2}(v),\dots,g_{n}(v)\bigr).
É fácil ver que
\ker(T) = \bigcap_{i=1}^{n}\ker(g_{i}).

Passo 4

A hipótese (a) diz exatamente que \ker(T)\subseteq\ker(f). Isso significa que f é zero em todo \ker(T), ou seja, f “fatora” através do quociente \mathbb{V}/\ker(T). Em outras palavras, existe único
\tilde f\colon \mathbb{V}/\ker(T)\;\longrightarrow\;\mathbb{F}
tal que f = \tilde f \circ \pi, onde \pi\colon \mathbb{V}\to\mathbb{V}/\ker(T) é a projeção natural.

Passo 5

Por outro lado, T também induz um isomorfismo
\bar T\colon \mathbb{V}/\ker(T)\;\tilde\longrightarrow\;\Image(T)\subseteq\mathbb{F}^{n}.
Compondo, obtemos um funcional linear
H\colon \Image(T)\to\mathbb{F}
tal que f = H\circ T. Finalmente, estendemos H a todo \mathbb{F}^{n} por qualquer base complementar de \Image(T). Ainda temos a composição
f(v) = H\bigl(T(v)\bigr) \quad\forall\,v\in\mathbb{V}.

Passo 6

Mas todo mapa linear H\colon \mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F} é dado pela forma
H(y_{1},\dots,y_{n}) \;=\; a_{1}\,y_{1} + \cdots + a_{n}\,y_{n}
para certos escalares a_{1},\dots,a_{n}. Assim, para cada v\in\mathbb{V},
f(v) = H\bigl(g_{1}(v),\dots,g_{n}(v)\bigr) = a_{1}\,g_{1}(v) + \cdots + a_{n}\,g_{n}(v),
ou seja
f = a_{1}g_{1} + \cdots + a_{n}g_{n}.

Resposta

Portanto, (a) e (b) são equivalentes, pois mostramos que cada uma implica a outra.

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