Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 3. Sejam
funcionais lineares sobre um espaço vetorial
. Prove que são equivalentes:
(a)
;
(b)
.
Você pode assumir que
.
(\mathbb{F}).
Questão 3. Sejam
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
de dimensão finita sobre um corpo
e funcionais lineares
Queremos mostrar a equivalência entre
(a)
(b) .
O conteúdo chave é usar núcleos, fatoração de mapas lineares e a estrutura de .
(a)
(b) .
O conteúdo chave é usar núcleos, fatoração de mapas lineares e a estrutura de
Passo 2
Mostramos primeiro que (b)
(a). Se
para alguns escalares
, então todo
satisfaz
para todo
. Logo
ou seja
. Assim (a) vale.
Passo 3
Para mostrar (a)
(b), definimos o mapa linear
É fácil ver que
Passo 4
A hipótese (a) diz exatamente que
. Isso significa que
é zero em todo
, ou seja,
“fatora” através do quociente
. Em outras palavras, existe único
tal que
, onde
é a projeção natural.
Passo 5
Por outro lado,
também induz um isomorfismo
Compondo, obtemos um funcional linear
tal que
. Finalmente, estendemos
a todo
por qualquer base complementar de
. Ainda temos a composição
Passo 6
Mas todo mapa linear
é dado pela forma
para certos escalares
. Assim, para cada
,
ou seja
Resposta
Portanto, (a) e (b) são equivalentes, pois mostramos que cada uma implica a outra.