Questão 4 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^{2}\right) com T(x+2)=(0,2), T\left(x^{2}-1\right)=(0,0) e T(x)=(1,1).
(a) Determine T\left((x-1)^{2}\right);
(b) A matriz [T]_{H}^{G} com G=\left\{x+2, x^{2}-1, x\right\} é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e H=\{(0,2),(1,1)\} é base de \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear \,T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2,
com \;T(x+2)=(0,2),\;T(x^2-1)=(0,0), e \,T(x)=(1,1).
Pede-se em (a) o valor de \,T\bigl((x-1)^2\bigr) e em (b) a matriz de T relativa à base de domínio G=\{x+2,\;x^2-1,\;x\} e à base de chegada H=\{(0,2),\,(1,1)\}.
Para resolver, vamos usar a linearidade de T e coordenadas em bases.
Passo 2
Expressar (x-1)^2 = x^2 -2x +1\) como combinação linear dos vetores de \(G\). Suponha
\[(x-1)^2 = a\,(x+2)\;+\;b\,(x^2-1)\;+\;c\,x.