Questão 4 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^{2}\right) com T(x+2)=(0,2), T\left(x^{2}-1\right)=(0,0) e T(x)=(1,1).
(a) Determine T\left((x-1)^{2}\right);
(b) A matriz [T]_{H}^{G} com G=\left\{x+2, x^{2}-1, x\right\} é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e H=\{(0,2),(1,1)\} é base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear \,T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2,
com \;T(x+2)=(0,2),\;T(x^2-1)=(0,0), e \,T(x)=(1,1).
Pede-se em (a) o valor de \,T\bigl((x-1)^2\bigr) e em (b) a matriz de T relativa à base de domínio G=\{x+2,\;x^2-1,\;x\} e à base de chegada H=\{(0,2),\,(1,1)\}.
Para resolver, vamos usar a linearidade de T e coordenadas em bases.

Passo 2

Expressar (x-1)^2 = x^2 -2x +1\) como combinação linear dos vetores de \(G\). Suponha \[(x-1)^2 = a\,(x+2)\;+\;b\,(x^2-1)\;+\;c\,x.
Isso dá
a\,x+2a \;+\;b\,x^2 -b \;+\;c\,x = b\,x^2 + (a+c)\,x + (2a - b)
que deve coincidir com x^2 -2x +1. Assim, o sistema é
\begin{cases} b = 1,\\\ a + c = -2,\\\\ 2a - b = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem b=1\]. Substituindo em \(2a - b=1 obtemos 2a-1=1, logo a=1. Finalmente, c=-2-a=-3.

Passo 3

Pela linearidade de T,
T\bigl((x-1)^2\bigr) = a\,T(x+2) \;+\; b\,T(x^2-1) \;+\; c\,T(x) = 1\cdot(0,2) + 1\cdot(0,0) + (-3)\cdot(1,1) = (-3,\,-1).

Passo 4

Para montar a matriz de T, precisamos das coordenadas de cada T(g_j) em relação a H=\{h_1=(0,2),\,h_2=(1,1)\}.
Começando por T(x+2)=(0,2), escrevemos
(0,2)=\alpha\,(0,2)+\beta\,(1,1) \;\Longrightarrow\; (\beta,\,2\alpha+\beta)=(0,2).
Isto dá \beta=0 e 2\alpha=2\Rightarrow\alpha=1. Logo,
[T(x+2)]_H = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para T(x^2-1)=(0,0), achamos \alpha e \beta em
(0,0)=\alpha\,(0,2)+\beta\,(1,1) \;\Longrightarrow\; \beta=0,\;2\alpha=0\;\Rightarrow\;\alpha=0,
portanto
[T(x^2-1)]_H = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Para T(x)=(1,1), resolvemos
(1,1)=\alpha\,(0,2)+\beta\,(1,1) \;\Longrightarrow\; (\beta,\,2\alpha+\beta)=(1,1).
Isto dá \beta=1 e 2\alpha+1=1\Rightarrow\alpha=0. Então
[T(x)]_H = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Organizando as coordenadas em colunas na ordem de G=\{x+2,\;x^2-1,\;x\}, a matriz de T em relação a G e H é
[T]_{H}^{G} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T\bigl((x-1)^2\bigr)=(-3,-1).
(b)
[T]_{H}^{G} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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