Questão 3 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), T(a, b)=\operatorname{sen}(a) x^{2}+\operatorname{sen}(b) x+a;

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^2\to\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) por
T(a,b)=\sin(a)\,x^2+\sin(b)\,x+a.
Para ser linear precisamos de aditividade T(u+v)=T(u)+T(v) e homogeneidade T(\lambda u)=\lambda T(u).

Passo 2

Contra-exemplo de aditividade: tome u=(\tfrac\pi2,0) e v=(\tfrac\pi2,0). Então
T(u+v)=T(\pi,0)=\sin(\pi)x^2+0\cdot x+\pi=\pi,
mas
T(u)+T(v)=(1\cdot x^2+0\cdot x+\tfrac\pi2)+(1\cdot x^2+0\cdot x+\tfrac\pi2)=2x^2+\pi\neq\pi.

Resposta

T não é transformação linear.

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