(a) Verifique se det(D cdot E)=det(D) cdot det(E). (b) Discuta o efeito de trocar duas linhas na matriz D sobre seu determinante.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas D e E e pede em (a) para verificar a relação
det(Dcdot E)=det(D),det(E)
e em (b) discutir o efeito de trocar duas linhas em D sobre seu determinante. Vamos usar a propriedade de que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal e a definição de determinante de produto de matrizes.
Passo 2
Como D é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
det(D)=1cdot 1cdot 2=2
Passo 3
Como E é triangular inferior (todos os coeficientes acima da diagonal são zero), temos
det(E)=2cdot 3cdot 1=6
Passo 4
Vamos calcular o produto Dcdot E. Fazendo a multiplicação de linhas de D por colunas de E, obtemos
Dcdot E = 1 & 12 & 3 -3 & 11 & 4 -2 & 4 & 2
Passo 5
Calculamos det(Dcdot E) por expansão na primeira linha:
Sobre trocar duas linhas em D: uma propriedade fundamental do determinante é que a permuta de duas linhas (ou colunas) multiplica o valor do determinante por -1. Portanto, se trocarmos duas linhas de D, seu determinante passa de 2 para -2.
Resposta
(a) det(Dcdot E)=12=det(D),det(E), logo a igualdade vale.
(b) Ao trocar duas linhas em qualquer matriz, o determinante muda de sinal (multiplica por -1).