Questão 4: Sejam as matrizes
D=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 2 ], E=[ccc 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 -1 & 2 & 1 ]
(a) Verifique se det(D cdot E)=det(D) cdot det(E). (b) Discuta o efeito de trocar duas linhas na matriz D sobre seu determinante.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas D e E e pede em (a) para verificar a relação
det(Dcdot E)=det(D),det(E)
e em (b) discutir o efeito de trocar duas linhas em D sobre seu determinante. Vamos usar a propriedade de que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal e a definição de determinante de produto de matrizes.

Passo 2

Como D é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
det(D)=1cdot 1cdot 2=2

Passo 3

Como E é triangular inferior (todos os coeficientes acima da diagonal são zero), temos
det(E)=2cdot 3cdot 1=6

Passo 4

Vamos calcular o produto Dcdot E. Fazendo a multiplicação de linhas de D por colunas de E, obtemos
Dcdot E = 1 & 12 & 3 -3 & 11 & 4 -2 & 4 & 2

Passo 5

Calculamos det(Dcdot E) por expansão na primeira linha:
det(Dcdot E) &=1cdotdet!11&44&2 -12cdotdet!-3&4-2&2 +3cdotdet!-3&11-2&4 &=1cdot(11cdot2-4cdot4) -12cdot((-3)cdot2-4cdot(-2)) +3cdot((-3)cdot4-11cdot(-2)) &=(22-16)-12cdot(-6+8)+3cdot(-12+22) &=6-24+30=12

Passo 6

Comparando, obtemos
det(Dcdot E)=12 e det(D),det(E)=2cdot6=12,
logo de fato det(Dcdot E)=det(D),det(E).

Passo 7

Sobre trocar duas linhas em D: uma propriedade fundamental do determinante é que a permuta de duas linhas (ou colunas) multiplica o valor do determinante por -1. Portanto, se trocarmos duas linhas de D, seu determinante passa de 2 para -2.

Resposta

(a) det(Dcdot E)=12=det(D),det(E), logo a igualdade vale.
(b) Ao trocar duas linhas em qualquer matriz, o determinante muda de sinal (multiplica por -1).

Exercícios relacionados