Sejam
K um corpo e F um subcorpo de K. Mostre que:
O elemento neutro da soma de F coincide com 0 elemento neutro da soma de K;

Passo 1

O enunciado diz que temos dois corpos, $\mathbb F$ subcorpo de $\mathbb K$, e queremos mostrar que o neutro aditivo (zero) de F coincide com o neutro aditivo de $\mathbb K$. O conteúdo aqui é teoria de grupos aditivos e unicidade do elemento neutro, além das propriedades de subcampo (fechamento em operações e participação de 1 e inversos).

Passo 2

Como $\mathbb F$ é subcampo de $\mathbb K$, ela contém o mesmo elemento neutro multiplicativo de $\mathbb K$. Ou seja,
para todo $x$ em $\mathbb F$ temos $1_{\mathbb K}x=x$, então pela unicidade do elemento neutro multiplicativo em $\mathbb F$ concluímos que $1_{\mathbb F}=1_{\mathbb K}$.

Passo 3

Em $\mathbb K$ o inverso aditivo de $1_{\mathbb K}$ é $-1_{\mathbb K}$. Como $\mathbb F$ é fechado em soma e inversos, $-1_{\mathbb K}$ pertence a $\mathbb F$ e, pela unicidade do inverso em $\mathbb F$, temos $-1_{\mathbb F}=-1_{\mathbb K}$.

Passo 4

O zero em qualquer corpo pode ser escrito como soma de um elemento com seu inverso aditivo. Em particular:
$0_{\mathbb K}=1_{\mathbb K}+(-1_{\mathbb K})$
e
$0_{\mathbb F}=1_{\mathbb F}+(-1_{\mathbb F})$.
Substituindo $1_{\mathbb F}=1_{\mathbb K}$ e $-1_{\mathbb F}=-1_{\mathbb K}$ obtemos:
$0_{\mathbb F}=1_{\mathbb K}+(-1_{\mathbb K})=0_{\mathbb K}$.

Resposta

Os elementos neutros aditivos coincidem: $0_{\mathbb F}=0_{\mathbb K}$.

Exercícios relacionados