Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
( ) A função y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\pi}{n!} x^{n}" é solução da edo y^{\prime}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\pi}{n!}\,x^{n}
é solução da equação diferencial
y' - y = 0.
Para isso, vamos usar séries de potência, reconhecer a série de e^x e diferenciar termo a termo.

Passo 2

Note que
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}
é a série de potência que define a função exponencial e^x. Logo, podemos reescrever
y(x)=\pi \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} = \pi\,e^x.

Passo 3

Diferenciando y(x)=\pi\,e^x em relação a x, obtemos
y'(x)=\pi\,e^x.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
y' - y = \pi\,e^x - \pi\,e^x = 0.
Portanto, a relação é satisfeita para todo x.

Resposta

V

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