Questão 1. Seja \vec{r}(t)=\ln (t) \vec{i}+\frac{t^{2}}{2} \vec{j}+t \vec{k}, t>0. Obtenha
(a)(2.0pt) O triedro de Frenet-Serret (\vec{T}, \vec{N}, \vec{B}) em t=1.
(b)(2.0pt) Curvatura e torção dessa curva em t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec r(t)=\ln(t)\,\vec i + \frac{t^2}{2}\,\vec j + t\,\vec k,\quad t>0,
e pede (a) o triedro de Frenet–Serret (\vec T,\vec N,\vec B) em t=1 e (b) a curvatura \kappa e a torção \tau em t=1.
Para isso, vamos precisar das derivadas \vec r', \vec r'', \vec r''', do produto vetorial entre velocidade e aceleração, e das fórmulas
\vec T=\frac{\vec r'}{\|\vec r'\|},\quad \kappa=\frac{\|\vec r'\times\vec r''\|}{\|\vec r'\|^3},\quad \vec B=\frac{\vec r'\times\vec r''}{\|\vec r'\times\vec r''\|},\quad \vec N=\vec B\times\vec T,\quad \tau=\frac{(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''}{\|\vec r'\times\vec r''\|^2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas e avaliemos em t=1:
\vec r'(t)=\frac1t\,\vec i + t\,\vec j + 1\,\vec k,\quad \vec r''(t)=-\frac1{t^2}\,\vec i + 1\,\vec j + 0\,\vec k,\quad \vec r'''(t)=\frac{2}{t^3}\,\vec i + 0\,\vec j + 0\,\vec k.
Logo, em t=1:
\vec v=\vec r'(1)=(1,1,1),\quad \vec a=\vec r''(1)=(-1,1,0),\quad \vec j=\vec r'''(1)=(2,0,0).

Passo 3

O vetor tangente unitário em t=1 é
\vec T(1)=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{1}{\sqrt3}\,(1,1,1).

Passo 4

Calculemos o produto vetorial e a curvatura em t=1:
\vec v\times\vec a =(1,1,1)\times(-1,1,0)=(-1,-1,2),
\|\vec v\|=\sqrt3,\quad \|\vec v\times\vec a\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt6,
\kappa(1)=\frac{\|\vec v\times\vec a\|}{\|\vec v\|^3} =\frac{\sqrt6}{(\sqrt3)^3} =\frac{\sqrt6}{3\sqrt3} =\frac{\sqrt2}{3}.
O vetor normal unitário é
\vec N(1) =\frac{\vec B(1)\times\vec T(1)}{},\quad\text{mas calculamos diretamente} \quad \vec B(1)=\frac{\vec v\times\vec a}{\|\vec v\times\vec a\|} =\frac{1}{\sqrt6}(-1,-1,2),
\vec N(1)=\vec B(1)\times\vec T(1) =\frac{1}{\sqrt6}\,(-1,-1,2)\times\frac{1}{\sqrt3}\,(1,1,1) =\frac{1}{3\sqrt2}(-3,3,0) =\frac{1}{\sqrt2}(-1,1,0).

Passo 5

Finalmente, o binormal já está em \vec B(1) acima, e a torção em t=1 é
\tau(1) =\frac{(\vec v\times\vec a)\cdot\vec j}{\|\vec v\times\vec a\|^2} =\frac{(-1,-1,2)\cdot(2,0,0)}{(\sqrt6)^2} =\frac{-2}{6} =-\frac13.

Resposta

\displaystyle \vec T(1)=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\quad \vec N(1)=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1,0),\quad \vec B(1)=\frac{1}{\sqrt6}(-1,-1,2),
\displaystyle \kappa(1)=\frac{\sqrt2}{3},\quad \tau(1)=-\frac13.

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