Questão 1. Seja
linear. Prove que:
(b) Se
é injetiva, então
também o é, e
é uma inversa à esquerda de
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera espaços com produto interno
e
e uma aplicação linear
com adjunta
. Queremos mostrar que, se
é injetiva, então
-
é injetiva; -
é uma inversa à esquerda de , ou seja,
Passo 2
Mostramos que
. Seja
tal que
Então, tomando o produto interno com
,
Mas pela propriedade do adjunto temos
Logo
, isto é,
. Como
é injetiva, segue
. Portanto
e
é injetiva.
Passo 3
Num espaço de dimensão finita (ou sob a hipótese de que
existe), injetividade de
implica que ele é invertível. Assim, o operador
está bem definido como mapa de
em
.
Passo 4
Para verificar que
é inversa à esquerda de
, basta calcular
Resposta
Ficou provado que, se
é injetiva, então
é injetiva (e portanto invertível) e
é uma inversa à esquerda de
.