Questão 1. Seja A: E \rightarrow F linear. Prove que:
(b) Se A é injetiva, então A^{*} A também o é, e \left(A^{*} A\right)^{-1} A^{*} é uma inversa à esquerda de A.

Passo 1

O enunciado considera espaços com produto interno E e F e uma aplicação linear
A: E \to F
com adjunta A^*:F\to E. Queremos mostrar que, se A é injetiva, então
  1. A^*A:E\to E é injetiva;
  2. \bigl(A^*A\bigr)^{-1}A^* é uma inversa à esquerda de A, ou seja,
\bigl(A^*A\bigr)^{-1}A^*\,A = I_E.

Passo 2

Mostramos que \ker(A^*A)=\{0\}. Seja x\in E tal que
A^*A\,x = 0.
Então, tomando o produto interno com x,
\bigl\langle A^*A\,x,\,x\bigr\rangle \;=\; 0.
Mas pela propriedade do adjunto temos
\bigl\langle A^*A\,x,\,x\bigr\rangle =\bigl\langle A\,x,\,A\,x\bigr\rangle =\|A\,x\|^2.
Logo \|A\,x\|^2=0, isto é, A\,x=0. Como A é injetiva, segue x=0. Portanto
\ker(A^*A)=\{0\},
e A^*A é injetiva.

Passo 3

Num espaço de dimensão finita (ou sob a hipótese de que (A^*A)^{-1} existe), injetividade de A^*A:E\to E implica que ele é invertível. Assim, o operador
B \;=\;\bigl(A^*A\bigr)^{-1}A^*
está bem definido como mapa de F em E.

Passo 4

Para verificar que B é inversa à esquerda de A, basta calcular
B\,A =\bigl(A^*A\bigr)^{-1}A^*\,A =\bigl(A^*A\bigr)^{-1}\,(A^*A) =I_E.

Resposta

Ficou provado que, se A é injetiva, então A^*A é injetiva (e portanto invertível) e
\bigl(A^*A\bigr)^{-1}A^*
é uma inversa à esquerda de A.

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