Questão 3: Seja
a parte da superficie
que está no primeiro octante e seja
a densidade de massa por unidade de área em cada ponto
de
. Sob estas condiçöes, calcule a massa total de
.
Passo 1
O enunciado pede a massa total da parte da superfície
que está no primeiro octante, com densidade superficial
O conteúdo é cálculo de integral de superfície de uma função escalar, usando parametrização da superfície e a fórmula
Passo 2
Parametrizamos
pelo par de variáveis
projetadas no plano
. Da equação da superfície,
No primeiro octante temos
,
e
, isto é
O elemento de área é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Expressão da densidade em função de
:
Portanto a massa é
onde
.
Passo 5
Calculamos a integral sobre
usando
de
a
e
de
a
:
Primeiro, a integral em
:
Expandindo:
então somando
obtemos
Agora a integral em
:
Multiplicando por
, a massa total é
Resposta
A massa total de
é
.