Questão 3: Seja S a parte da superficie 2 x+2 y+z=4 que está no primeiro octante e seja \rho(x, y, z)=6 x+4 y+z a densidade de massa por unidade de área em cada ponto (x, y, z) de S. Sob estas condiçöes, calcule a massa total de S.

Passo 1

O enunciado pede a massa total da parte da superfície
2x + 2y + z = 4
que está no primeiro octante, com densidade superficial
\rho(x,y,z) = 6x +4y + z.
O conteúdo é cálculo de integral de superfície de uma função escalar, usando parametrização da superfície e a fórmula
\text{massa} = \iint_{S} \rho\,dS.

Passo 2

Parametrizamos S pelo par de variáveis (x,y) projetadas no plano xy. Da equação da superfície,
z = 4 - 2x - 2y.
No primeiro octante temos x\ge0, y\ge0 e z\ge0, isto é
4 - 2x - 2y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y \le 2.
O elemento de área é
dS = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^{2}}\;dx\,dy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial z}{\partial x} = -2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 + (-2)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4+4} = 3.
Logo
dS = 3\,dx\,dy.

Passo 4

Expressão da densidade em função de (x,y):
\rho(x,y) = 6x + 4y + z = 6x +4y + (4 - 2x -2y) = 4x + 2y + 4.
Portanto a massa é
\iint_{S}\rho\,dS = \iint_{D} \bigl(4x + 2y + 4\bigr)\,3\,dx\,dy = 3 \iint_{D}(4x+2y+4)\,dx\,dy,
onde D = \{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le2\}.

Passo 5

Calculamos a integral sobre D usando x de 0 a 2 e y de 0 a 2-x:
\iint_{D}(4x+2y+4)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2-x}(4x+2y+4)\,dy\,dx.
Primeiro, a integral em y:
\int_{0}^{2-x}(4x+2y+4)\,dy = (4x+4)(2-x) + \int_{0}^{2-x}2y\,dy = (4x+4)(2-x) + (2-x)^{2}.
Expandindo:
(4x+4)(2-x) =4x\cdot2 -4x\cdot x +4\cdot2 -4\cdot x =8x -4x^2 +8 -4x =4x -4x^2 +8,
então somando (2-x)^2 = x^2 -4x+4 obtemos
4x -4x^2 +8 + x^2 -4x +4 = -3x^2 +12.
Agora a integral em x:
\int_{0}^{2}(-3x^2 +12)\,dx = \bigl[-x^3 +12x\bigr]_{0}^{2} = \bigl(-8 +24\bigr) - 0 =16.
Multiplicando por 3, a massa total é
3 \times 16 = 48.

Resposta

A massa total de S é 48.

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