1^ a QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
l s1=1+14+19+116+125+cdots s2=11.2+12.3+13.4+14.5+15.6+cdots
O limitante superior de s1 coincide com o seu valor de convergencia? Justifique;

Passo 1

Neste exercício temos a série infinita de termos positivos s1=1+1/4+1/9+cdots=sumn=1^infty1/n^2. O objetivo é verificar se o limitante superior (supremo) da sequência de somas parciais coincide com o valor de convergência da série — um problema de análise de séries e limites.

Passo 2

Definimos a sequência de somas parciais
Sn=sumk=1^n1k^2
Como cada termo 1/k^2 é positivo, ao passar de Sn para Sn+1 somamos algo maior que zero. Logo, (Sn) é estritamente crescente.

Passo 3

Pela teoria de séries de termos positivos, sabe­-se que s1=sumn=1^infty1/n^2 converge a um valor finito, digamos L. Isso significa que
limntoinftySn=L
e portanto para todo n tem­s­e Sn. Assim, (Sn) é limitada superiormente por L.

Passo 4

Um resultado clássico de análise real diz que toda sequência crescente e limitada tem seu supremo igual ao limite de convergência. Logo,
supninNSn=limntoinftySn=L

Resposta

Sim. Como a sequência de somas parciais é crescente e limitada, seu supremo coincide com o valor de convergência da série.

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