QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
O limitante superior de
coincide com o seu valor de convergencia? Justifique;
Passo 1
Neste exercício temos a série infinita de termos positivos
. O objetivo é verificar se o limitante superior (supremo) da sequência de somas parciais coincide com o valor de convergência da série — um problema de análise de séries e limites.
Passo 2
Definimos a sequência de somas parciais
Como cada termo
é positivo, ao passar de
para
somamos algo maior que zero. Logo,
é estritamente crescente.
Passo 3
Pela teoria de séries de termos positivos, sabe-se que
converge a um valor finito, digamos
. Isso significa que
e portanto para todo
temse
. Assim,
é limitada superiormente por
.
Passo 4
Um resultado clássico de análise real diz que toda sequência crescente e limitada tem seu supremo igual ao limite de convergência. Logo,
Resposta
Sim. Como a sequência de somas parciais é crescente e limitada, seu supremo coincide com o valor de convergência da série.