Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
(1) ( ) A matriz real A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) é diagonalizável em \mathbb{R}.
(2) ( ) Toda matriz simétrica em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) é diagonalizável.
(3) ( ) Se o polinômio minimal de A \in M_{7 \times 7}(\mathbb{R}) é dado por m_{A}(x)=x\left(x^{6}-1\right), então A é nilpotente.
(4) ( ) Os auto-valores de uma matriz simétrica A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) são todos positivos.
(5) ( ) Se o polinômio característico de uma matriz A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) é dado por p_{A}(x)=x^{3}-x, então A não é diagonalizável em \mathbb{R}.
(6) ( ) Seja T um operador linear sobre \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}). Se \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=2, então T tem pelo menos um auto-valor igual a zero.
(7) ( ) Existe uma projeção E \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) sobre W=\operatorname{span}\{(-1,1)\} segundo U=\operatorname{span}\{(1,1)\}.
(8) ( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(x-y+z, y-2 z, x-z) é diagonalizável.
(9) ( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(x+y+z, y-2 x, x) é diagonalizável.
(10) ( ) Seja T um operador linear em \mathbb{R}^{2} com T^{3}=T. Então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de dez afirmações sobre diagonalizabilidade de matrizes e operadores lineares em espaços reais. Vamos usar:
– Teorema espectral (matrizes simétricas são ortogonalmente diagonalizáveis).
– Critério de diagonalizabilidade pelo polinômio minimal (sem raízes repetidas).
– Lema posto–nulidade para detectar autovalor zero.
– Estrutura de soma direta para projeções.
– Cálculo de polinômio característico e multiplicidades algébrica vs. geométrica.

Passo 2

(1) A matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é triangular superior com único autovalor \lambda=1 de multiplicidade algébrica 3. Calculando
A-I=\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},
vemos que \dim\ker(A-I)=2<3, logo a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica e A não é diagonalizável. Portanto (1) é falsa.

Passo 3

(2) Em M_{2\times2}(\mathbb{R}), toda matriz simétrica satisfaz o Teorema Espectral, sendo ortogonalmente diagonalizável em \mathbb{R}. Logo (2) é verdadeira.

Passo 4

(3) Se m_{A}(x)=x(x^6-1), então A(A^6-I)=0, mas m_A tem raízes em 0,1,-1, todas distintas de zero salvo x=0. Logo A não satisfaz A^k=0 para nenhum k>0 e não é nilpotente. Assim (3) é falsa.

Passo 5

(4) Uma matriz simétrica em M_{2\times2}(\mathbb{R}) pode ter autovalores positivos, nulos ou negativos (ex.: \mathrm{diag}(1,-1)). Não é obrigatório que sejam todos positivos. Logo (4) é falsa.

Passo 6

(5) Se p_A(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1), os autovalores -1,0,1 são três raízes reais simples. Autovalores distintos implicam diagonalizabilidade em \mathbb{R}. A afirmação “ A não é diagonalizável” é, portanto, falsa.

Passo 7

(6) Em \mathcal P_4(\mathbb R) temos \dim=5. Se \dim\Im T=2, então pelo Teorema do Núcleo e Imagem
\dim\ker T=5-2=3\ge1,
há vetor não-nulo em \ker T, logo 0 é autovalor de T. Assim (6) é verdadeira.

Passo 8

(7) Para existir projeção E de \mathbb R^2 sobre
W=\mathrm{span}\{(-1,1)\}
segundo
U=\mathrm{span}\{(1,1)\}
é preciso \mathbb R^2=W\oplus U. Como (-1,1) e (1,1) são independentes, formam base de \mathbb R^2, e a soma é direta. Logo tal projeção existe e (7) é verdadeira.

Passo 9

(8) O operador T(x,y,z)=(x-y+z,\;y-2z,\;x-z) tem matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
cujo polinômio característico se fatoriza como
-\lambda(\lambda-2)(\lambda+1)=0
com três raízes reais e simples. Logo T é diagonalizável em \mathbb R e (8) é verdadeira.

Passo 10

(9) O operador T(x,y,z)=(x+y+z,\;y-2x,\;x) tem matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
cujo polinômio característico -\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda-1 possui apenas uma raiz real e duas complexas. Em \mathbb R não é diagonalizável. Portanto (9) é falsa.

Passo 11

(10) Se T\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 satisfaz T^3=T, então seu polinômio minimal divide
x^3-x=x(x-1)(x+1)
e não tem raízes repetidas. Logo T é diagonalizável em \mathbb R^2. Assim (10) é verdadeira.

Resposta

(1) Falsa
(2) Verdadeira
(3) Falsa
(4) Falsa
(5) Falsa
(6) Verdadeira
(7) Verdadeira
(8) Verdadeira
(9) Falsa
(10) Verdadeira

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