Questão 4: Seja [T]=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 4 & 2\end{array}\right] uma matriz associada a uma transformação linear. Encontre os autovalores de T e os autovetores de T associados a cada autovalor encontrado.

Passo 1

O enunciado dá a matriz da transformação linear
[T]=\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 4 & 2\end{pmatrix}
e pede os autovalores \lambda (soluções de \det([T]-\lambda I)=0) e, para cada \lambda, os autovetores \mathbf v\neq\mathbf0 tais que [T]\mathbf v=\lambda\mathbf v.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos a equação característica
\det\bigl([T]-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 0\\\ 4 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot4.

Passo 3

Igualando a zero, temos
(3-\lambda)(2-\lambda)=0
logo as raízes são
\lambda_1=3 \quad\text{e}\quad \lambda_2=2.

Passo 4

Para \lambda_1=3, resolvemos
([T]-3I)\mathbf v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 4x - y = 0, ou seja y=4x, e a primeira linha não impõe restrição.
Portanto os autovetores associados a \lambda_1=3 são
\mathbf v = x\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix},\quad x\neq0,
isto é, o espaço próprio é \mathrm{span}\{(1,4)\}.

Passo 5

Para \lambda_2=2, resolvemos
([T]-2I)\mathbf v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 4 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x=0 e a segunda não dá nova condição, logo y é livre.
Os autovetores são
\mathbf v = y\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad y\neq0,
ou seja, o espaço próprio é \mathrm{span}\{(0,1)\}.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=2.
Um autovetor para \lambda_1=3 é \bigl(1,4\bigr) (espaço próprio \mathrm{span}\{(1,4)\}),
e um autovetor para \lambda_2=2 é \bigl(0,1\bigr) (espaço próprio \mathrm{span}\{(0,1)\}).

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