Questão 4: Seja [T]=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 4 & 2\end{array}\right] uma matriz associada a uma transformação linear. Encontre os autovalores de T e os autovetores de T associados a cada autovalor encontrado.
Passo 1
O enunciado dá a matriz da transformação linear
[T]=\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 4 & 2\end{pmatrix}
e pede os autovalores \lambda (soluções de \det([T]-\lambda I)=0) e, para cada \lambda, os autovetores \mathbf v\neq\mathbf0 tais que [T]\mathbf v=\lambda\mathbf v.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos a equação característica
Da primeira linha vem x=0 e a segunda não dá nova condição, logo y é livre.
Os autovetores são
\mathbf v = y\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad y\neq0,
ou seja, o espaço próprio é \mathrm{span}\{(0,1)\}.
Resposta
Os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=2.
Um autovetor para \lambda_1=3 é \bigl(1,4\bigr) (espaço próprio \mathrm{span}\{(1,4)\}),
e um autovetor para \lambda_2=2 é \bigl(0,1\bigr) (espaço próprio \mathrm{span}\{(0,1)\}).