Questão 1: Sejam \vec{V}_{1}=(-2,1,1), \vec{V}_{2}=(0,-1,2) e \vec{V}_{3}=(0,0,1) vetores de R^{3}. Esses vetores constituem uma base B=\left\{\vec{V}_{1}, \vec{V}_{2}, \vec{V}_{3}\right\} não ortogonal em relação ao produto interno usual. Determine, a partir de B, uma base B^{\prime}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\} que seja ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá uma base não ortogonal de \mathbb{R}^3,
\vec V_1=(-2,1,1), \vec V_2=(0,-1,2), \vec V_3=(0,0,1),
e pede uma base ortonormal B'=\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\} usando o produto interno usual.
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt e em seguida normalizar cada vetor.

Passo 2

Primeiro vetor ortonormal \vec u_1:
calcule o módulo de \vec V_1:
\|\vec V_1\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}.
Normalize \vec V_1:
\vec u_1=\frac{\vec V_1}{\|\vec V_1\|} =\frac{1}{\sqrt{6}}\,(-2,1,1).

Passo 3

Segundo vetor ortogonal a \vec u_1:
projete \vec V_2 sobre \vec u_1:
\vec V_2\!\cdot\!\vec u_1 =\frac{0\cdot(-2)+(-1)\cdot1+2\cdot1}{\sqrt{6}} =\frac{1}{\sqrt{6}},
\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_2 =\frac{1}{\sqrt{6}}\,\vec u_1 =\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6}\Bigr).
Subtraia para obter \vec w_2:
\vec w_2 =\vec V_2-\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_2 =\Bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{7}{6},\tfrac{11}{6}\Bigr) \sim(2,-7,11).
Normalize \vec w_2:
\|\,(2,-7,11)\,\|=\sqrt{4+49+121}=\sqrt{174},
\vec u_2=\frac{1}{\sqrt{174}}\,(2,-7,11).

Passo 4

Terceiro vetor ortogonal a \vec u_1 e \vec u_2:
projete \vec V_3 em cada um:
\vec V_3\!\cdot\!\vec u_1 =\frac{1}{\sqrt{6}}, \quad \vec V_3\!\cdot\!\vec u_2 =\frac{11}{\sqrt{174}}.
\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_3 =\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6}\Bigr), \quad \mathrm{proj}_{\vec u_2}\vec V_3 =\frac{11}{\sqrt{174}}\;\frac{1}{\sqrt{174}}\,(2,-7,11) =\Bigl(\tfrac{22}{174},-\tfrac{77}{174},\tfrac{121}{174}\Bigr).
Subtraia:
\vec w_3 =\vec V_3 -\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_3 -\mathrm{proj}_{\vec u_2}\vec V_3 =\Bigl(\tfrac{6}{29},\tfrac{8}{29},\tfrac{4}{29}\Bigr) \sim(3,4,2).
Normalize:
\|\,(3,4,2)\,\|=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}, \quad \vec u_3=\frac{1}{\sqrt{29}}\,(3,4,2).

Resposta

\vec u_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\,(-2,1,1),\quad \vec u_2=\frac{1}{\sqrt{174}}\,(2,-7,11),\quad \vec u_3=\frac{1}{\sqrt{29}}\,(3,4,2).

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