Questão 2: Uma transformação Linear
é tal que:
a) Determine
.
b) Calcule
tal que
.
c) T é injetora?
b) Calcule
c) T é injetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
tal que
tal que
Pede-se:
a) a fórmula de para todo
,
b) um vetor com ,
c) verificar se é injetora.
O conteúdo envolve base em , coordenadas nessa base e linearidade.
a) a fórmula de
b) um vetor com
c) verificar se
O conteúdo envolve base em , coordenadas nessa base e linearidade.
Passo 2
Mostramos que
é base de
.
Basta notar que não são múltiplos um do outro (determinante ), logo formam base.
Basta notar que não são múltiplos um do outro (determinante
Passo 3
Escrevemos um vetor genérico
em coordenadas dessa base:
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo em
fica
Passo 4
Pela linearidade,
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Para achar
com
igualamos coordenadas:
De
e da segunda equação segue
, mas então a primeira dá
. Há contradição, logo não existe solução em
.
Passo 6
Para ver se
é injetora, resolvemos
. Da terceira coordenada vem
. Substituindo na segunda
dá
. O núcleo é
, logo
é injetora.
Resposta
a)
b) Não existe tal que
c) é injetora.
b) Não existe tal que
c)