Questão 2: Uma transformação Linear \mathrm{T} R^{2} \rightarrow R^{3} é tal que:
\begin{aligned} & T(1,-2)=(1,0,1) \\\ & T(1,0)=(2,-1,1) \end{aligned}
a) Determine T(x, y) \forall x, y \in \Re.
b) Calcule u \in R^{2} tal que T(u)=(2,0,1).
c) T é injetora?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
\displaystyle T\colon \R^2\to\R^3 tal que
T(1,-2)=(1,0,1), \qquad T(1,0)=(2,-1,1).
Pede-se:
a) a fórmula de T(x,y) para todo (x,y)\in\R^2,
b) um vetor u\in\R^2 com T(u)=(2,0,1),
c) verificar se T é injetora.
O conteúdo envolve base em \R^2, coordenadas nessa base e linearidade.

Passo 2

Mostramos que \{(1,-2),(1,0)\} é base de \R^2.
Basta notar que não são múltiplos um do outro (determinante =1\cdot0-1\cdot(-2)=2\neq0), logo formam base.

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico (x,y) em coordenadas dessa base:
(x,y)=a\,(1,-2)+b\,(1,0).
Isso gera o sistema
a+b=x, \quad -2a=y.
Da segunda equação vem a=-\tfrac y2. Substituindo em a+b=x fica
b=x - a = x + \tfrac y2.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = a\,T(1,-2) \;+\; b\,T(1,0) = a\,(1,0,1) \;+\; b\,(2,-1,1).
Substituindo a=-\tfrac y2 e b=x+\tfrac y2 obtemos
T(x,y) =\Bigl(a+2b,\,-b,\;a+b\Bigr) =\Bigl(2x+\tfrac y2,\,-x-\tfrac y2,\;x\Bigr).

Passo 5

Para achar u=(x,y) com T(x,y)=(2,0,1) igualamos coordenadas:
2x+\tfrac y2=2, \quad -x-\tfrac y2=0, \quad x=1.
De x=1 e da segunda equação segue y=-2, mas então a primeira dá 2\cdot1+(-2)/2=1\neq2. Há contradição, logo não existe solução em \R^2.

Passo 6

Para ver se T é injetora, resolvemos T(x,y)=(0,0,0). Da terceira coordenada vem x=0. Substituindo na segunda -0-\tfrac y2=0 y=0. O núcleo é \{(0,0)\}, logo T é injetora.

Resposta

a) \displaystyle T(x,y)=\bigl(2x+\tfrac y2,\,-x-\tfrac y2,\;x\bigr).
b) Não existe u\in\R^2 tal que T(u)=(2,0,1).
c) T é injetora.

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