Questão 2 Seja T um operador linear sobre espaço vetorial V real, de dimensão finita, satisfazendo as seguintes condições: T^{3}+T^{2}-T=I d, T \neq I d, T \neq-I d, T^{2} \neq I d.
(a) Determine os possiveis auto-valores de T.
(b) T é diagonalizável? Justifique em no máximo 2 linhas.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T num espaço real de dimensão finita que satisfaz
T^{3}+T^{2}-T=\mathrm{Id},
com as restrições T\neq\mathrm{Id}, T\neq -\mathrm{Id} e T^{2}\neq\mathrm{Id}.
Queremos encontrar os autovalores de T e decidir se ele é diagonalizável.

Passo 2

Escrevendo
T^{3}+T^{2}-T-\mathrm{Id}=0,
vemos que o polinômio anulador de T é
p(t)=t^{3}+t^{2}-t-1.
Fatorando p(t) por t=1 obtemos
p(t)=(t-1)(t^{2}+2t+1)=(t-1)(t+1)^{2}.

Passo 3

Os autovalores de T são as raízes de p(t)=0, ou seja
\lambda=1 \quad\text{e}\quad \lambda=-1
(sendo -1 de multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Como T\neq\mathrm{Id}, T\neq -\mathrm{Id} e T^{2}\neq\mathrm{Id}, o polinômio minimal de T é
m(t)=(t-1)(t+1)^{2},
que tem fator duplo em t=-1. Logo T não é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1.
(b) T não é diagonalizável, pois seu polinômio minimal (t-1)(t+1)^{2} tem raiz dupla em -1.

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