Questão 2 Seja
um operador linear sobre espaço vetorial
real, de dimensão finita, satisfazendo as seguintes condições:
.
(a) Determine os possiveis auto-valores de
.
(b)
é diagonalizável? Justifique em no máximo 2 linhas.
(a) Determine os possiveis auto-valores de
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
num espaço real de dimensão finita que satisfaz
com as restrições
,
e
.
Queremos encontrar os autovalores de e decidir se ele é diagonalizável.
Queremos encontrar os autovalores de
Passo 2
Escrevendo
vemos que o polinômio anulador de
é
Fatorando
por
obtemos
Passo 3
Os autovalores de
são as raízes de
, ou seja
(sendo
de multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Como
,
e
, o polinômio minimal de
é
que tem fator duplo em
. Logo
não é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são
e
.
(b) não é diagonalizável, pois seu polinômio minimal
tem raiz dupla em
.
(b)