Questão 4 Verifique se são diagonalizáveis ou não as seguintes transformações:
T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) tal que
[T]=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3) cuja matriz em alguma base é
A = [T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos verificar se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e as dimensões dos autoespaços.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I). Note que
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & -1-\lambda & -2\\\\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix},
então, por desenvolvimento pela primeira linha,
\chi_T(\lambda) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\[6pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\[3pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot1 =(\lambda^2-1)+2 =\lambda^2+1,
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\chi_T(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2+1).]

Passo 3

As raízes de \chi_T(\lambda)=0 são
1-\lambda=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=1,
\lambda^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_{2,3}=\pm i.
Perceba que só \lambda_1=1 é real; os outros dois são complexos.

Passo 4

Para \lambda_1=1 resolvemos (A-I)x=0. Tem-se
A-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
cujo sistema equivalente é
-2x_2-2x_3=0,\quad x_2=0.
Da segunda equação vem x_2=0 e, pela primeira, x_3=0. Logo os vetores próprios são da forma (x_1,0,0), e o autoespaço para \lambda=1 tem dimensão 1.

Passo 5

Em \mathbb{R}^3 só há um autovalor real com autoespaço de dimensão 1, portanto não é possível obter 3 autovetores reais linearmente independentes. Concluímos que T não é diagonalizável em \mathbb{R}^3.

Resposta

T não é diagonalizável em \mathbb{R}^3.

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