Questão 5 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira justifique e caso falso dê um contra-exemplo.
(a) Se
e
, então
é diagonalizável.
(b) Se
e
, então
é diagonalizável.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para checar, em
, se as transformações lineares que satisfazem (a)
ou (b)
são diagonalizáveis. O conteúdo principal é diagonalização de operadores em espaços reais de dimensão
, usando polinômio minimal e existência de base de autovetores.
Passo 2
Um operador linear
em
é diagonalizável se, e somente se, existe uma base de
formada por autovetores de
. Equivalentemente, seu polinômio minimal deve fatorar em fatores lineares distintos sobre
.
Passo 3
Considere o caso (a), em que
. Isso implica que o polinômio minimal
divide
Logo, os únicos autovalores possíveis são
e
. Há três subcasos:
. Se
, então todo vetor é autovetor de valor próprio
, gerando uma base de autovetores.
. Se
, todo vetor é autovetor de valor próprio
.
. Se
não é nem
nem
, então os autovalores
e
são distintos e cada um tem pelo menos um autovetor, totalizando dois autovetores linearmente independentes.
Em qualquer situação, se decompõe em fatores lineares simples e há base de autovetores, logo
é diagonalizável.
Em qualquer situação,
Passo 4
Considere agora (b), em que
. O polinômio minimal satisfaz
e portanto
é
(não pode ser linear). Como
não se fatora em
, não há raízes reais, isto é, não existem autovalores reais nem autovetores reais não nulos. Sem autovetores suficientes, não há base de autovetores em
, logo
não é diagonalizável. Um contra-exemplo clássico é a rotação de
: em coordenadas canônicas,
que satisfaz
mas não admite autovetores reais.]
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(b) Falso.