Questão 5 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira justifique e caso falso dê um contra-exemplo.
(a) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) e T^{2}=T, então T é diagonalizável.
(b) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) e T^{2}=-I, então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para checar, em \mathbb{R}^2, se as transformações lineares que satisfazem (a) T^2=T ou (b) T^2=-I são diagonalizáveis. O conteúdo principal é diagonalização de operadores em espaços reais de dimensão 2, usando polinômio minimal e existência de base de autovetores.

Passo 2

Um operador linear T em \mathbb{R}^2 é diagonalizável se, e somente se, existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de T. Equivalentemente, seu polinômio minimal deve fatorar em fatores lineares distintos sobre \mathbb{R}.

Passo 3

Considere o caso (a), em que T^2=T. Isso implica que o polinômio minimal m_T(x) divide
x^2 - x = x(x-1).
Logo, os únicos autovalores possíveis são 0 e 1. Há três subcasos:
1. Se T=0, então todo vetor é autovetor de valor próprio 0, gerando uma base de autovetores.
2. Se T=I, todo vetor é autovetor de valor próprio 1.
3. Se T não é nem 0 nem I, então os autovalores 0 e 1 são distintos e cada um tem pelo menos um autovetor, totalizando dois autovetores linearmente independentes.
Em qualquer situação, m_T(x) se decompõe em fatores lineares simples e há base de autovetores, logo T é diagonalizável.

Passo 4

Considere agora (b), em que T^2=-I. O polinômio minimal satisfaz
m_T(x) \mid x^2+1,
e portanto m_T(x) é x^2+1 (não pode ser linear). Como x^2+1 não se fatora em \mathbb{R}[x], não há raízes reais, isto é, não existem autovalores reais nem autovetores reais não nulos. Sem autovetores suficientes, não há base de autovetores em \mathbb{R}^2, logo T não é diagonalizável. Um contra-exemplo clássico é a rotação de 90^\circ: em coordenadas canônicas,
T=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},
que satisfaz T^2=-I mas não admite autovetores reais.]

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.

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