Questão 1

Seja T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x-2 y, 3 x-y+z). Seja S: R^2 R^3 tal que S(x, y)=(x+y, x+2 y, 3 y).
a. Achar [T] e [S].
b. Achar [S circ T] e calcular S circ T(x, y, z).

Passo 1

Neste exercício a gente vai trabalhar com transformações lineares e suas representações matriciais. Precisamos encontrar as matrizes de T e S, depois a matriz da composição S∘T e, por fim, a fórmula de (S∘T)(x,y,z). O conteúdo principal é álgebra linear: representação matricial de aplicações lineares e composição de matrizes.

Passo 2

Para achar a matriz de T, lembramos que a coluna j de [T] é T aplicado ao j-ésimo vetor canônico de ℝ³. Vamos calcular T(1,0,0), T(0,1,0) e T(0,0,1).
Aplicando a definição T(x,y,z)=(x−2y,3x−y+z) aos vetores canônicos, obtemos:
T(1,0,0)=(1,3),
T(0,1,0)=(-2,-1),
T(0,0,1)=(0,1).
Logo, a matriz de T é
[T]= 1 & -2 & 0 3 & -1 & 1

Passo 3

Para achar a matriz de S, fazemos o mesmo raciocínio em ℝ²: as colunas de [S] são S(1,0) e S(0,1), usando S(x,y)=(x+y,x+2y,3y).
Calculando S nos vetores canônicos de ℝ²:
S(1,0)=(1+0,1+0,0)=(1,1,0),
S(0,1)=(0+1,0+2,3)=(1,2,3).
Portanto,
[S]= 1 & 1 1 & 2 0 & 3

Passo 4

A matriz da composição S∘T é o produto [S]·[T], pois aplicar T e depois S corresponde a multiplicar as matrizes. Temos [S] de tamanho 3×2 e [T] de tamanho 2×3, então [S∘T] será 3×3.
Fazendo o produto de matrizes:
Para i=1…3 e j=1…3,
([S∘T])ij= sumk=1^2[S]ikcdot[T]kj
Calculando linha a linha, coluna a coluna, chegamos em
[S∘T]= 4 & -3 & 1 7 & -4 & 2 9 & -3 & 3

Passo 5

Para escrever (S∘T)(x,y,z) como fórmula, basta pôr u=x−2y e v=3x−y+z (as coordenadas de T) e aplicar S(u,v)=(u+v,u+2v,3v). Substituindo:
(Scirc T)(x,y,z)= (u+v,,u+2v,,3v),
com u=x−2y e v=3x−y+z. Fazendo as contas, obtemos
(Scirc T)(x,y,z)=(4x-3y+z,,7x-4y+2z,,9x-3y+3z)

Resposta

[T]= 1 & -2 & 0 3 & -1 & 1, [S]= 1 & 1 1 & 2 0 & 3, [S\circ T]= 4 & -3 & 1 7 & -4 & 2 9 & -3 & 3, (S\circ T)(x,y,z)=(4x-3y+z,,7x-4y+2z,,9x-3y+3z)

Exercícios relacionados