Seja A a matriz :
A=(ll 2 & 2 1 & 3 )
a. Calcular os autovalores e autovetores da matriz A.
b. Diagonalizar essa matriz.
c. Calcular A^n, para todo n in N^*.

Passo 1

Temos a matriz
A = 2 & 2 1 & 3
O objetivo é encontrar os autovalores e autovetores, diagonalizar a matriz e usar essa diagonalização para calcular A^n. Para isso vamos precisar do polinômio característico, do cálculo de vetores próprios e da fórmula A = P D P^-1.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det2-lambda & 2 1 & 3-lambda = 0
Calculando o determinante, temos
(2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 -5lambda +4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação lambda^2 -5lambda +4 = 0, encontramos as raízes
lambda1 = 1, lambda2 = 4

Passo 4

Agora vamos achar os autovetores. Para lambda1 = 1, resolvemos
(A - I)v = 1 & 2 1 & 2 x y = 0
que dá a relação x + 2y = 0. Um vetor próprio associado é v1 = (-2,1)^T.
Para lambda2 = 4, resolvemos
(A - 4I)v = -2 & 2 1 & -1 x y = 0
que dá y = x. Um vetor próprio é v2 = (1,1)^T.

Passo 5

Como os autovalores são distintos, a matriz é diagonalizável. Montamos
P = -2 & 1 1 & 1, D = 1 & 0 0 & 4
O determinante de P é det P = -3 neq 0, então
A = P D P^-1
Calculando P^-1 (que não precisamos escrever em detalhe) confirma a diagonalização.

Passo 6

Para obter A^n, usamos
A^n = P D^n P^-1,
onde
D^n = 1^n & 0 0 & 4^n = 1 & 0 0 & 4^n
Fazendo as multiplicações e simplificando, chega-se à fórmula explícita:

Passo 7

Após as contas, o resultado é
A^n = 13 4^n + 2 & 2,(4^n - 1) 4^n - 1 & 2,4^n + 1

Resposta

A^n = 134^n + 2 & 2,(4^n - 1) 4^n - 1 & 2,4^n + 1

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