Suponha que o é uma operação binária associativa em A. Seja x um elemento fixo de A. Definimos outra relação binária circ^x em A por
a circ^x b:=a circ(x circ b)
Mostre que circ^x é associativa.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária associativa circ em A e fixa um elemento x. Define-se então a operação circ^x por
a circ^x b := a circ (x circ b).
Precisamos mostrar que circ^x é associativa, ou seja, que para todo a,b,c in A
(a circ^x b) circ^x c = a circ^x (b circ^x c).

Passo 2

Começamos calculando o lado esquerdo da identidade de associatividade com a nova operação:
(a circ^x b) circ^x c = (a circ (x circ b)) circ (x circ c),
once usamos a definição de circ^x.

Passo 3

Como circ é associativa, podemos reassociar os parênteses:
(a circ (x circ b)) circ (x circ c) = a circ ((x circ b) circ (x circ c)).

Passo 4

Observamos que por definição de circ^x, temos b circ^x c = b circ (x circ c) e a circ^x (b circ^x c) = a circ (x circ (b circ (x circ c))). Assim,
(a circ^x b) circ^x c = a circ^x (b circ^x c),
o que prova que circ^x é associativa.

Resposta

A operação circ^x é associativa em A.

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