Suponha que o é uma operação binária associativa em A. Seja
um elemento fixo de
. Definimos outra relação binária
por
Mostre que
é associativa.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária associativa
em
e fixa um elemento
. Define-se então a operação
por
Precisamos mostrar que
Passo 2
Começamos calculando o lado esquerdo da identidade de associatividade com a nova operação:
once usamos a definição de
Passo 3
Como
é associativa, podemos reassociar os parênteses:
Passo 4
Observamos que por definição de
, temos
e
. Assim,
o que prova que
Resposta
A operação
é associativa em
.