Seja ( K,+, cdot) um corpo. Mostre que:
-x=(-1) cdot x, para todo x in K.

Passo 1

Temos um corpo ( K, +, cdot) e queremos mostrar que para todo x in K vale -x = (-1) cdot x. Para isso, vamos usar propriedades de grupo aditivo e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Lembrando que -x é o inverso aditivo de x, ou seja, satisfaz x + (-x) = 0, e que, por definição, -1 é o inverso aditivo de 1, logo 1 + (-1) = 0.

Passo 3

Vamos avaliar a soma x + (-1) cdot x. Como 1 é elemento neutro da multiplicação, temos x = 1 cdot x. Então:
x + (-1)cdot x = 1cdot x + (-1)cdot x = (1 + (-1))cdot x

Passo 4

Como 1 + (-1) = 0, temos (1 + (-1)) cdot x = 0 cdot x. Pelo axioma do corpo, a multiplicação por zero produz o elemento neutro aditivo, isto é 0 cdot x = 0. Logo:
x + (-1)cdot x = 0

Passo 5

Isso mostra que (-1)cdot x é o inverso aditivo de x. Pela unicidade do inverso aditivo, concluímos que (-1)cdot x = -x.

Resposta

-x = (-1) cdot x

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