Seja (
um corpo. Mostre que:
, para todo
.
Passo 1
Temos um corpo (
) e queremos mostrar que para todo
vale
. Para isso, vamos usar propriedades de grupo aditivo e a distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Lembrando que
é o inverso aditivo de
, ou seja, satisfaz
, e que, por definição,
é o inverso aditivo de
, logo
.
Passo 3
Vamos avaliar a soma
. Como
é elemento neutro da multiplicação, temos
. Então:
Passo 4
Como
, temos
. Pelo axioma do corpo, a multiplicação por zero produz o elemento neutro aditivo, isto é
. Logo:
Passo 5
Isso mostra que
é o inverso aditivo de
. Pela unicidade do inverso aditivo, concluímos que
.