Questão 1 (2,5): Sejam S1=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y+z=0 S2=(x, y, z) in R^3 ; 3 z-5 x-2 y=0 subespaços vetoriais de R^3.
Encontre uma base e a dimensão para S1 e para S2:

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3 definidos por uma única equação linear homogênea cada, ou seja, planos que passam pela origem. Para cada Si a ideia é escrever a condição em forma de equação, resolver em função de dois parâmetros (pois sobra um grau de liberdade), obter a forma paramétrica e daí extrair um conjunto de dois vetores independentes que formam uma base. A dimensão será 2 em ambos os casos.

Passo 2

Analisando
S1=(x,y,z)inR^3;;x-2y+z=0,
da equação
x-2y+z=0
isolamos x:
x=2y-z
Logo um vetor genérico em S1 é
(x,y,z)=(2y - z,;y,;z) = y,(2,1,0);+;z,(-1,0,1)
Dessa forma uma base de S1 é
(2,1,0),;(-1,0,1)
e dim S1=2.

Passo 3

Agora
S2=(x,y,z)inR^3;;3z-5x-2y=0
Reescrevendo
-5x-2y+3z=0 Longrightarrow x=tfrac25y-tfrac35z
Para evitar frações, escolha parâmetros s,y=5s e t,z=5t. Então
x=2s-3t,
e
(x,y,z) = s,(2,5,0);+;t,(-3,0,5)
Logo uma base de S2 é
(2,5,0),;(-3,0,5)
e dim S2=2.

Resposta

Base de S1: (2,1,0),,(-1,0,1), dim S1=2
Base de S2: (2,5,0),,(-3,0,5), dim S2=2

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